专题10 二项式定理常见考题（解析版）-2021-2022学年高二数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

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专题 10 二项式定理常见考题
【考点预测】
1.定义
一般地，对于任意正整数
n
，都有：
nn
n
rrnr
n
n
n
n
n
nbCbaCbaCaCba
110
)(
(
*
Nn
)，
这个公式所表示的定理叫做二项式定理， 等号右边的多项式叫做
n
ba )(
的二项展开式。
式中的
r n r r
n
C a b
做二项展开式的通项，用 Tr+1 表示，即通项为展开式的第 r+1 项：
1
r n r r
r n
T C a b
，
其中的系数
r
n
C
（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数
2．二项式(a+b)n的展开式的特点：
(1)项数：共有 n+1 项，比二项式的次数大 1；
(2)二项式系数：第 r+1 项的二项式系数为
，最大二项式系数项居中；
(3)次数：各项的次数都等于二项式的幂指数 n．字母 a降幂排列，次数由 n到0；字母 b升幂排列，次
数从 0到n，每一项中，a，b次数和均为 n；
3.二项展开式的通项：
-
1
r n r r
r n
T C a b
（
nr ,,2,1,0
）
公式特点：
①它表示二项展开式的第 r+1 项，该项的二项式系数是
r
n
C
；
②字母 b的次数和组合数的上标相同；
4.二项式系数及其性质
（1）
( )
n
a b
的展开式中各项的二项式系数
0
n
C
、
1
n
C
、
2
n
C
…
n
n
C
具有如下性质：
①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即
rn
n
r
n
CC
；
②增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值.其中，
当n为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数
最大；当 n为奇数时，二项展开式中间两项的二项
式系数
2
1n
n
C
，
2
1n
n
C
相等，且最大.
③各二项式系数之和为
2
n
，即
0 1 2 3 4
2
n n
n n n n n n
C C C C C C    
；
④二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，
即
1531420
2
n
nnnnnn
CCCCCC
。
考点诠释：
二项式系数与展开式的系数的区别
二项展开式中，第 r+1 项
rrnr
nbaC
的二项式系数是组合数
，展开式的系数是单项式
rrnr
nbaC
的系
数，二者不一定相等。
（2）
( )
n
abc 
展开式中
p q r
a b c
的系数求法（
, , 0p q r
的整数且
p q r n  
）
rqqrnq
rn
r
n
rrnr
n
nn
cbaCCcbaCcbacba
)(])[()(
考点诠释：
三项或三项以上的展开式问题，把某两项结合为一项，利用二项式定理解决。
5.二项式定理的应用
1.求展开式中的指定的项或特定项（或其系数）.
2.利用赋值法进行求有关系数和.
3.利用二项式定理证明整除问题及余数的求法.
4.证明有关的不等式问题.
5.进行近似计算.
【典型例题】
例1．（2022·江苏淮安·高二期中）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设
为整数，若 和 被 m除得的余数相同，则称 和 对模 m同余，记为 .如9和
21 除以 6所得的余数都是 3，则记为 ，若 ， ，
则 的值可以是（）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
【答案】A
【解析】
【分析】
利用二项式定理化简 为 ，展开可得到 被 10 除余 9，由此可得
答案.
【详解】
,
所以 被 10 除余 9，
2019,2020,2021,2022 除以 10 余9的是 2019，
故选：A.
例2．（2022·全国·高二课时练习）化简多项式 的
结果是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知，将多项式的每一项都变成二项式展开式的结构，观察结构变化，即可进行合并，完成求解.
【详解】
依题意可知，多项式的每一项都可看作 ，
故该多项式为 的展开式，
化简 ．
故选：D.
例3．（2022·河南·高二期中（理））“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中国南宋
数学家杨辉于 1261 年所著的《详解九章算法》一书中，法国数学家帕斯卡在 1654 年才发现这一规律.“杨
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