专题9平行四边形中的两解及多解问题归类训练（解析版）-2021-2022学年八年级数学下学期常考考点解读&专题提优训练（苏科版）

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专题 9平行四边形中的两解及多解问题归类训练（解析版）
第一部分 典例剖析及针对训练
类型一 高的不确定性
典例 1 在▱ABCD 中，BC 边上的高为 4，AB＝5，AC＝2
❑
√
5
，则▱ABCD 的周长等于（　　）
A．12 B．16 C．16 或24 D．12 或20
思路指引：根据题意分别画出图形，BC 边上的高在平行四边形的内部和外部，进而利用勾股定理求出
即可．
解：①如图 1所示：
∵在▱ABCD 中，BC 边上的高为 4，AB＝5，AC＝2
❑
√
5
，
∴EC
¿❑
√
A C2− A E 2=¿
2，AB＝CD＝5，
BE
¿❑
√
A B2− A E2=¿
3，
∴AD＝BC＝5，
∴▱ABCD 的周长等于：20，
②如图 2所示：
∵在▱ABCD 中，BC 边上的高为 4，AB＝5，AC＝2
❑
√
5
，
∴EC
¿❑
√
A C2− A E 2=¿
2，AB＝CD＝5，
BE
¿❑
√
A B2− A E2=¿
3，
∴BC＝3 2﹣ ＝1，
∴▱ABCD 的周长等于：1+1+5+5＝12，
则▱ABCD 的周长等于 12 或20．
故选：D．
题眼直击：利用分类讨论思想，注意不漏解是解决本题的关键！
方法点睛：此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识，利用分类讨论得出是解题关键．
针对练习 1
1．在▱ABCD 中，AB
¿❑
√
6
，AD
¿❑
√
2
，点 A到边 BC，CD 的距离分别为 AE
，AF＝1，则∠EAF 的度数
为　 　 ．
解：如图 1所示：
∵AF⊥DC，AE⊥CB，
∴∠DFA＝90°，∠AEB＝90°，
∵AD
¿❑
√
2
，AF＝1，∴DF＝1，
∴∠D＝∠DAF＝45°，
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠DAB＝135°，
∵AB
¿❑
√
6
，AE
¿❑
√
3
，∴EB
¿❑
√
3
，
∴∠EAB＝45°，
∴∠EAF＝135° 45° 45°﹣ ﹣ ＝45°，
如图 2，过点 A作AE⊥CB 延长线于点 E，过点 A作AF⊥CD 延长线于点 F，
同理可得：∠EAB＝45°，∠BAD＝45°，∠FAD＝45°，
则∠EAF＝135°，
故答案为：45°或135°．
类型二 等腰三角形底和腰的不确定性
典例 2 （江西中考）如图是一张长方形纸片 ABCD，已知 AB＝8，AD＝7，E为AB 上一点，AE＝5，现要
剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点 P落在长方形 ABCD 的某一条边上，则等腰三角形 AEP 的底
边长是　 　 ．
思路点拨：分情况讨论：①当 AP＝AE＝5时，则△AEP 是等腰直角三角形，得出底边 PE
¿❑
√
2
AE＝5
❑
√
2
即可；
②当 1PE＝AE＝5时，求出 BE，由勾股定理求出 P1B，再由勾股定理求出等边 AP1即可；
③当 P2A＝P2E时，底边 AE＝5；即可得出结论．
解：如图所示：
①当 AP＝AE＝5时，
∵∠BAD＝90°，
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