专题09 排列组合常用技巧与归纳（原卷版）-2021-2022学年高二数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

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专题 09 排列组合常用技巧与归纳

【考点预测】

1．求解有限制条件排列问题的主要方法

直

接

法

分类法选定一个适当的分类标准，将要完成的事件分成几个类型，分别计

算每个类型中的排列数，再由分类加法计数原理得出总数

分步法选定一个适当的标准，将事件分成几个步骤来完成，分别计算出各

步骤的排列数，再由分步乘法计数原理得出总数

捆绑法相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进

行排列，同时注意捆绑元素的内部排列

插空法不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相

邻的元素插在前面元素排列的空中

除法对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以已定元素的

全排列

间接法对于分类过多的问题，按正难则反，等价转化的方法

2.两类含有附加条件的组合问题的解法

(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：若“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补

足；若“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．

(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题目必须十分重视“至少”与“最多”这两

个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，用间接法

求解．

3．分组问题的求解策略

(1)对不同元素的分配问题．

①整体均分：解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以

A(n为均分的组数)，避免重复计数．

②部分均分：解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有 m组元素个数相等，则分组时应除

以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数．

③不等分组：只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排

列数．

(2)对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”．

4.常用类型归纳：

（1）定位问题优先法（特殊元素和特殊位置优先法）

（2）相邻问题捆绑法

（3）相离问题插空法

（4）定序问题除序（去重复）、空位、插入法

（5）平均分组问题倍除法（去重复法）

（6）元素相同问题隔板法

（7）正难问题则反总体淘汰法（若直接法难，则用间接法）

（8）重排问题求幂法

（9）环（圆）排问题直排法

（10）多排问题单排法

（11）排列组合混合问题先选后排法

（12）小集团问题先整体后局部法

（13）含约束条件问题合理分类与分步法

（14）简单问题实际操作穷举法

（15）数字排序问题查字典法

（16）复杂问题分解与合成法

（17）复杂问题转化归结法（化归法）

（18）复杂分类问题表格法

（19）运算困难问题树图法

（20）不易理解问题构造模型法

【典型例题】

例1．（人教 A版（2019）选修第三册过关斩将第六章 6.2 综合拔高练）某大学为提高数学系学生的数学

素养，特开设了《古今数学思想》《世界数学通史》《几何原本》《什么是数学》四门选修课程，要求数

学系每位同学每学年至多选三门，大一到大三三个学年必须将四门选修课程修完，则每位同学的不同选修

方式有（）

A．60 种B．78 种C．84 种D．144 种

例2．（人教 A版（2019）选修第三册实战演练第六章易错疑难突破专练）某市决定派出6个医疗小组驰

援某地甲、之、丙三个地区，每个地区分配 2个医疗小组，其中 A医疗小组必须去甲地，则不同的安排方

法种数为（）

A．30 B．60 C．90 D．180

例3．（山西省实验中学2018-2019 学年高二下学期第二次月考理试题）不定方程的非负整数

解的个数为（）

A．B．C．D．

例4．（人教 A版（2019）选修第三册必杀技第 6.2 节综合训练）马路上亮着一排编号为

1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 的10 盏路灯．为节约用电，现要求把其中的两盏灯关掉，但不能同时关

掉相邻的两盏，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法种数为（）

A．12 B．18 C．21 D．24

例5．（人教 A版（2019）选修第三册过关斩将第六章 6.2 综合拔高练）已知函数的零点构

成集合，若（，，，可以相等），则满足条件“ ”的数组

的个数为（）

A．33 B．29 C．27 D．21

例6．（人教 A版（2019）选修第三册实战演练第六章 6.2 课时练习 05 排列与组合的综合应用）8个人坐

成一排，现要调换其中 3个人中每一个人的位置，其余5个人的位置不变，则不同调换方式有（）

A．B．C．D．

例7．（人教 B版（2019）选修第二册过关检测第三章3.1.3 组合与组合数）因新冠肺炎疫情防控工作需要，

、

N两社区招募义务宣传员，现有A

，

F6位大学生和甲、乙、丙3位党员教师自愿参加，

现将他们分成两个小组分别派往 M

、

N两社区开展疫情防控宣传工作，要求每个社区都至少安排1位党员

教师及 3位大学生，且B由于工作原因只能派往 M社区，则不同的选派方案种数为（）

A．120 B．90 C．60 D．30

例8．（山东省聊城市 2021-2022 学年高二下学期期中数学试题）用红、黄、蓝、绿四种颜色涂在如图所

示的六个区域，且相邻两个区域不能同色，则涂色方法总数是_________．（用数字填写答案）

过关测试

1．（黑龙江省牡丹江市第三高级中学2021-2022 学年高二下学期期中考试数学试题）为响应政府部门疫情

防控号召，某红十字会安排甲､乙､丙､丁4名志愿者，20 辆救护车（救护车相同）奔赴 A，B，C三地参加

防控工作，则下列说法正确的是（）

A．志愿者不同的安排方法共有64 种

B．若恰有一地无人去，则不同的安排方法共有40 种

C．每地至少安排一辆救护车，则不同的安排方法共有171 种

D．若甲､乙两人都不能去A地，且每地均有人去，则不同的安排方法共有44 种

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