专题09 排列组合常用技巧与归纳（解析版）-2021-2022学年高二数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

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专题 09 排列组合常用技巧与归纳

【考点预测】

1．求解有限制条件排列问题的主要方法

直

接

法

分类法选定一个适当的分类标准，将要完成的事件分成几个类型，分别计

算每个类型中的排列数，再由分类加法计数原理得出总数

分步法选定一个适当的标准，将事件分成几个步骤来完成，分别计算出各

步骤的排列数，再由分步乘法计数原理得出总数

捆绑法相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进

行排列，同时注意捆绑元素的内部排列

插空法不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相

邻的元素插在前面元素排列的空中

除法对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以已定元素的

全排列

间接法对于分类过多的问题，按正难则反，等价转化的方法

2.两类含有附加条件的组合问题的解法

(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：若“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补

足；若“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．

(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题目必须十分重视“至少”与“最多”这两

个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，用间接法

求解．

3．分组问题的求解策略

(1)对不同元素的分配问题．

①整体均分：解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以

A(n为均分的组数)，避免重复计数．

②部分均分：解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有 m组元素个数相等，则分组时应除

以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数．

③不等分组：只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排

列数．

(2)对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”．

4.常用类型归纳：

（1）定位问题优先法（特殊元素和特殊位置优先法）

（2）相邻问题捆绑法

（3）相离问题插空法

（4）定序问题除序（去重复）、空位、插入法

（5）平均分组问题倍除法（去重复法）

（6）元素相同问题隔板法

（7）正难问题则反总体淘汰法（若直接法难，则用间接法）

（8）重排问题求幂法

（9）环（圆）排问题直排法

（10）多排问题单排法

（11）排列组合混合问题先选后排法

（12）小集团问题先整体后局部法

（13）含约束条件问题合理分类与分步法

（14）简单问题实际操作穷举法

（15）数字排序问题查字典法

（16）复杂问题分解与合成法

（17）复杂问题转化归结法（化归法）

（18）复杂分类问题表格法

（19）运算困难问题树图法

（20）不易理解问题构造模型法

【典型例题】

例1．（人教 A版（2019）选修第三册过关斩将第六章 6.2 综合拔高练）某大学为提高数学系学生的数学

素养，特开设了《古今数学思想》《世界数学通史》《几何原本》《什么是数学》四门选修课程，要求数

学系每位同学每学年至多选三门，大一到大三三个学年必须将四门选修课程修完，则每位同学的不同选修

方式有（）

A．60 种B．78 种C．84 种D．144 种

【答案】B

【解析】

【分析】

依题意每位同学每年所修课程数可以分为 1，1，2或0，1，3或0，2，2．先将课程分组，再分配到三个

学年，最后按照分类、分步计数原理计算可得；

【详解】

解：由题意可知三年修完四门课程，且每年至多选三门，

则每位同学每年所修课程数可以分为 1，1，2或0，1，3或0，2，2．

若按 1，1，2选修四门课程，则先将四门选修课分成三组，有种不同方式，

再分配到三个学年，共有种不同的分配方式，由分步乘法计数原理可得共有种不同的

选修方式；

若按 0，1，3选修四门课程，则先将四门选修课分成三组，有种不同方式，

再分配到三个学年，共有种不同的分配方式，由分步乘法计数原理可得共有种不同的选修

方式；

若按 0，2，2选修四门课程，则先将四门选修课分成三组，有种不同方式，

再分配到三个学年，共有种不同的分配方式，由分步乘法计数原理可得共有种不同的选

修方式．

所以每位同学的不同选修方式有种．

故选：B．

例2．（人教 A版（2019）选修第三册实战演练第六章易错疑难突破专练）某市决定派出6个医疗小组驰

援某地甲、之、丙三个地区，每个地区分配 2个医疗小组，其中 A医疗小组必须去甲地，则不同的安排方

法种数为（）

A．30 B．60 C．90 D．180

【答案】A

【解析】

【分析】

利用分步乘法计数原理先分组再分配即可求解.

【详解】

根据题意，分 2步进行：

①将 6个医疗小组平均分成 3组，每组 2支医疗队，有种分组方法；

②将甲所在的小组安排到甲地，其他两个小组安排到乙、丙两地，有种情况，

则有种不同的安排方法.

故选：A.

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