专题09 函数及其表示重难点突破（原卷版）-【教育机构专用】2021年暑假初升高数学精品讲义（全国通用）

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专题 09 函数的概念及其表示
一、考情分析
二、经验分享
【知识点一、函数的概念】
1．函数的概念
设
A、B
是______，如果按照某种确定的对应关系
f
，使对于集合
A
中的_____
x
，在集合
B
中都
有______的数 和它对应，那么就称 为从集合
A
到集合
B
的一个函数，记作 ．
其中，
x
叫做自变量，
x
的取值范围
A
叫做函数的定义域；与
x
的值对应的
y
值叫做函数值，函数值的集合
叫做函数的值域．显然，值域是集合
B
的子集．
名师解读：
（1）“A，B是非空的数集”，一方面强调了 A，B只能是数集，即 A，B中的元素只能是实数；另一方面指
出了定义域、值域都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的．
（2）理解函数的概念要注意函数的定义域是非空数集 A，但函数的值域不一定是非空数集 B，而是集合 B
的子集．
（3）函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集
A
中的任意一个（任意性）元素
x
，在非空数集
B
中都有（存在性）唯一（唯一性）的元素
y
与之对应．
（4）函数符号“ ”是数学中抽象符号之一，“ ”仅为
y
是
x
的函数的数学表示，不表示
y
等
于
f
与
x
的乘积， 也不一定是解析式，还可以是图表或图象．
2．函数的构成要素
由函数概念知，一个函数的构成要素为___________．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以确
定一个函数只需要两个要素：定义域和对应关系．
辨析 与 ： 表示当自变量 时函数 的值，是一个常量，而 是自变量
x
的函数，它是一个变量， 是 的一个特殊值．
3．相等函数（同一函数）
对于两个函数，只有当两个函数的_______都分别相同时，这两个函数才相等，即是同一函数．
名师解读：
（1）判断两个函数是相同函数的准则是两个函数的定义域和对应关系分别相同．定义域、对应关系两者
中只要有一个不相同就不是相同函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是相同函数．
（2）函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的．
（3）在化简解析式时，必须是等价变形．
【知识点二、区间及其表示】
1．区间的概念
设
a
，
b
是两个实数，而且
a
<
b
．我们规定：
（1）满足不等式 的实数
x
的集合叫做闭区间，表示为___________；
（2）满足不等式 的实数
x
的集合叫做开区间，表示为___________；
（3）满足不等式 的实数
x
的集合叫做半开半闭区间，分别表示为__________．
其中实数
a
，
b
都叫做相应区间的端点．我们可以在数轴上表示上述区间，为了区别开区间、闭区间的端
点，我们用_____表示包括在区间内的端点，用_____表示不包括在区间内的端点．
定义 名称 符号 数轴表示
闭区间
开区间
半开半闭区间
半开半闭区间
注意：区间符号里面的两个字母（或数字）之间用“，”隔开．
2．无穷大的概念
实数集 可以用区间表示为___________，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无
穷大”．把满足 的实数
x
的集合分别表示为 ．
【知识点三、函数的三种表示方法】
1．解析法
用___________表示两个变量之间的对应关系的方法叫做解析法．
2．图象法
用___________来表示两个变量之间的对应关系的方法叫做图象法．
3．列表法
通过列出___________来表示两个变量之间的对应关系的方法叫做列表法．
名师解读：
（1）解析法：利用解析式表示函数的前提是变量间的对应关系明确，且利用解析法表示函数时要注意注
明其定义域．
（2）图象法：图象既可以是连续的曲线，也可以是离散的点．
（3）列表法：采用列表法的前提是函数值对应清楚，选取的自变量要有代表性．
【知识点四、分段函数】
1．分段函数的概念
在函数定义域内，对于自变量
x
的不同___________，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数．
名师解读：
（1）分段函数每一段都有一个解析式，这些解析式组成的整体才是该分段函数的解析式．分段函数是一
个函数，而不是几个函数．
（2）分段函数的定义域：一个函数只有一个定义域，分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集，
分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式．
（3）分段函数的值域：求分段函数的值域，应先求出各段函数在对应自变量的取值范围内的函数值的集
合，再求出它们的并集．
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