专题09 分式方程与应用 （知识点串讲）（解析版）-2020-2021学年八年级数学下册期末考点大串讲(苏科版)

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专题 09 分式方程与应用
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重难突破
知识点一 分式方程的解法
1、分式方程
分母中含有未知数的方程叫分式方程．
注意：在判断一个方程是否为分式方程时，注意不要约分，如 约分之后就是整式方程.
2、解分式方程的一般步骤
（1）去分母，在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；
（2）解整式方程，得到整式方程的解；
（3）验根：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原方程的解；
否则，这个解不是原分式方程的解．
典例 1
（2020 春•仪征市期末）已知关于 的方程 的解是正数，那么 的取值范围是 　　
A． 且 B．C． 且 D．
【解答】解：去分母得： ，
去括号得： ，
解得： ，
由分式方程的解为正数，得到 ，且 ，
解得： 且 ．
故选： ．
典例 2
（2020 春•玄武区期中）若关于 的方程 的解为负数，则 的取值范围是　　．
【解答】解： ，
，
，
，
解得 ．
故答案为： ．
典例 3
（2021 春•玄武区期中）解方程：
（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1）去分母得： ，
解得： ，
检验：把 代入得： ，
分式方程的解为 ；
（2）去分母得： ，
去括号得： ，
解得： ，
检验：把 代入得： ，
则 是增根，分式方程无解．
知识点二 方程增根、无解问题
1、增根的定义：如果由变性后的方程求得的根不适合原方程，那么这种根叫做原方程的增根.
2、增根产生的原因，解分式方程的第一步是“去分母”，而在分式中当分母的值为 0时，分式无意义，所
以在分式方程中，未知数的值不能使分母为 0，即分式方程本身就隐含着分母不为 0的条件，当把分式方
程转化为整式方程后，这个限制条件取消了，未知数允许值的范围扩大了，如果转化后的方程的根恰好是
原方程未知数允许值范围之外的值，那么这个值就是原方程的增根.
注意：分式方程的增根必须满足两个条件：
①增根使最简公分母为 0；②增根是分式方程化成的整式方程的根.
3、无解
一是分式方程转化为的整式方程无解；
二是分式方程转化为的整式方程有解，但是这个解使分式方程的最简公分母的值为 0.
典例 1
（2021 春•苏州期中）关于 的分式方程 的增根为 　　
A．B．C．D．
【解答】解： 原方程有增根，
最简公分母 ，
解得 ，
故选： ．
典例 2
（2020 春•洪泽区期末）若关于 的方程 无解，则 　 ．
【解答】解：去分母，得： ，
整理，得： ，
当 时，分式方程无解，
当 时，若 ，则 ，即 ；
若 ，则 （无解）；
综上所述， 或 ，
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