专题8平行四边形（包括矩形、菱形、正方形）中的面积问题探究（解析版）-2021-2022学年八年级数学下学期常考考点解读&专题提优训练（苏科版）

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专题 8 平行四边形（包括矩形、菱形、正方形）中的面积问题探究
（解析版）
第一部分 典例剖析及针对训练
类型一 平行四边形中的面积探究
典例 1（2021 秋•庆云县期末）如图，在▱ABCD 中，按以下步骤作图：①分别以点 A、点 B为圆心，以大
于
1
2
AB 的长为半径作弧；②过两弧相交的两点作直线交 BC 于点 E，连接 AE，已知 CD＝4，∠B＝
60°，则△ABE 的面积为　　．
思路点拨：利用基本作图得到 EF 垂直平分 AB，根据平行四边形的性质以及中点的定义得出 BF＝2，再
解直角△BEF，求出 EF，进而得出△ABE 的面积．
解：如图，由作法得 EF 垂直平分 AB，即 AF＝BF
¿1
2
AB，EF⊥AB，
∵四边形 ABCD 为平行四边形，
∴AB＝CD＝4，BF＝2．
在直角△BEF 中，∵∠BFE＝90°，∠B＝60°，
∴EF＝BF•
❑
√
3
＝2
❑
√
3
，
∴△ABE 的面积
¿1
2
AB•EF
¿1
2×
4×2
❑
√
3=¿
4
．
故答案为：4
❑
√
3
．
点睛：本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，也考查了作已知线段的垂直平分线．利用基本作
图得到 EF 垂直平分 AB 是解题的关键．
针对训练 1
1．（2022 春•鼓楼区校级月考）如图，E、F分别是平行四边形 ABCD 的边 AB、CD 上的点，AF 与DE 相
交于点 P，BF 与CE 相交于点 Q，若 S△APD＝17cm2，S△BQC＝27cm2，则阴影部分的面积为　 44 　 cm2．
思路点拨：作出辅助线 EF，因为△ADF 与△DEF 同底等高，所以面积相等，所以阴影图形的面积可解．
解：如图，连接 EF
∵△ADF 与△DEF 同底等高，
∴S△ADF＝S△DEF，
即S△ADF﹣S△DPF＝S△DEF﹣S△DPF，
即S△APD＝S△EPF＝17cm2，
同理可得 S△BQC＝S△EFQ＝27cm2，
∴阴影部分的面积为 S△EPF+S△EFQ＝17+27＝44cm2．
故答案为：44．
点睛：本题主要考查了平行四边形的性质以及三角形的面积，解答此题关键是作出辅助线，找出同底等
高的三角形．
类型二 菱形中的面积
典例 2（2021 秋•雁塔区校级期末）如图，在菱形 ABCD 中，∠DAB＝45°，DE⊥BC 于点 E，交对角线 AC
于点 P，过点 P作PF⊥CD 于点 F．若△PDF 的周长为 8．则菱形 ABCD 的面积为（　　）
A．16 B．16
❑
√
2
C．32 D．32
❑
√
2
思路点拨：证△CDE 是等腰直角三角形，得∠CDE＝45°，CD
¿❑
√
2
DE，再证△DPF 是等腰直角三角形，
得PF＝DF，PD
¿❑
√
2
PF，设 PF＝DF＝x，则 PD
¿❑
√
2
x，求出 x＝8 4﹣
❑
√
2
，则 DE＝x
+❑
√
2
x＝4
❑
√
2
，BC
＝CD
¿❑
√
2
DE＝8，即可求解．
解：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴BC＝CD，∠BCD＝∠BAD，∠ACB＝∠ACD，AD∥BC，
∴∠BAD+∠B＝180°，
∵∠DAB＝45°，
∴∠BCD＝∠BAD＝45°，
∵DE⊥BC，
∴△CDE 是等腰直角三角形，
∴∠CDE＝45°，CD
¿❑
√
2
DE，
∵PF⊥CD，
∴△DPF 是等腰直角三角形，
∴PF＝DF，PD
¿❑
√
2
PF，
设PF＝DF＝x，则 PD
¿❑
√
2
x，
∵△PDF 的周长为 8，
∴x+x
+❑
√
2
x＝8，
解得：x＝8 4﹣
❑
√
2
，
∵∠ACB＝∠ACD，DE⊥BC，PF⊥CD，
∴PE＝PF＝x，
∴DE＝x
+❑
√
2
x＝（1
+❑
√
2
）×（8 4﹣
❑
√
2
）＝4
❑
√
2
，
∴BC＝CD
¿❑
√
2
DE＝8，
∴菱形 ABCD 的面积＝BC×DE＝8×4
❑
√
2=¿
32
❑
√
2
，
故选：D．
点睛：本题考查了菱形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，熟练掌握菱形
的性质，证明△DPF 为等腰直角三角形是解题的关键．
针对训练 2
2．（2021 秋•桐柏县期末）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 D作DH⊥AB 于点 H，
连接 OH，若 OA＝6，OH＝4，则菱形 ABCD 的面积为（　　）
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