专题8.3 简单几何体的表面积与体积(精讲）-2021-2022学年高一数学金典同步精讲精练（人教A版2019必修第二册）（解析版）

3.0 envi 2025-05-18 43 4 3.82MB 50 页 3知币
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棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【知识点的知识】
侧面积和全面积的定义：
（1）侧面积的定义：把柱、锥、台的侧面沿着它们的一条侧棱或母线剪开，所得到的展开图的面
积，就是空间几何体的侧面积．
（2）全面积的定义：空间几何体的侧面积与底面积的和叫做空间几何体的全面积．
柱体、锥体、台体的表面积公式（ c为底面周长， h为高， h′为斜高， l为母线）
S圆柱表＝2πr（r+l）， S圆锥表＝πr（r+l）， S圆台表＝π（r2+rl+Rl+R2）
【例题1】（2021 秋•金华期末）正多面体被认为是构成宇宙的基本元素，加上它的多种变体，一直是
科学、艺术、哲学灵感的源泉之一．若连接正方体六个面的中心构成一个正八面体，则正方体与所得八面
体的表面积之比为 　　
A．B．3 C．D．6
【分析】由题意画出图形，设正方体的棱长为 2，则正八面体的棱长为 ，分别求出正方体与正八面体的
表面积，作比得答案．
【解答】解：如图，
设正方体的棱长为 2，则正八面体的棱长为 ，
正方体的表面积为 ，正八面体的表面积为 ，
正方体与所得八面体的表面积之比为 ．
故选： ．
【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积，考查空间想象能力与运算求解能力，是基础题．
【例题2】已知圆锥 的底面半径为 1，若其底面上存在两点 ， ，使得 ，则该圆锥侧
面积的最大值为 　　
A．B．C．D．
例题精讲
【分析】判断圆锥的母线的范围，即可求解圆锥侧面积的最大值．
【解答】解：因为圆锥的轴截面是等腰三角形，其底面上存在两点 ， ，使得 ，
可知母线 ，
所以圆锥的侧面积为： ，当且仅当圆锥的轴截面是等腰直角三角形时，侧面积取得最
大值．
故选： ．
【点评】本题考查圆锥的侧面积的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．
【例题3】（2022•洛阳模拟）如图， ， 分别是圆柱上，下底面圆的直径，且 ，若圆柱
的轴截面为正方形，且三棱锥 的体积为 ，则该圆柱的侧面积为 　　
A．B．C．D．
【分析】分别取上下底面的圆心为 ， ，连接 ， ， ，可得 平面 ，设圆柱上底面圆
的半径为 ，三棱锥 的体积为 ，求出 ，由圆柱的侧面积公式可得答案．
【解答】解：分别取上下底面的圆心为 ， ，连接 ， ， ，则 ，
因为 ， ，所以 ， ，且 ，
所以 平面 ，
设圆柱上底面圆的半径为 ，则 ，
三棱锥 的体积为 ，
解得 ，该圆柱的侧面积为 ，
故选： ．
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