专题08 证明不等式（解析版）-2021-2022学年高二数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

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专题 08 证明不等式
【考点预测】
利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式 （或 ）转化为证明 （或
），进而构造辅助函数 ；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
（4）对数单身狗，指数找基友
（5）凹凸反转，转化为最值问题
（6）同构变形
【典型例题】
例1．（2022·陕西西安·三模（理））已知函数 （ ）．
(1)讨论函数 的零点个数；
(2)当 时，证明不等式 ．
【答案】(1)当 时有 2个零点； 时没有零点； 或者 时有一个零点；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）对函数进行求导，运用分类讨论思想结合零点的定义进行求解即可；
（2）根据所要证明的不等式结构特征构造新函数，利用导数的性质判断新函数的单调性，最后利用新函
数的单调性进行证明即可.
(1)
，（ ）．
当 时， ，从而 ， 在 上单调递减；又 时， ，
，故此是函数 只有一个零点；
当 时， ，而函数在 上单调递减，在 上单调递增，又 ，又 时，
， ，故有两个零点；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递增，又 ，故此时 只有一
个零点，即 ；
当 时， ，函数在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ，此时函数没有零点；
综上：当 时有 2个零点； 时没有零点； 或者 时有一个零点；
(2)
令 ，其中 ，可得 ，
设 ，可得 在 上恒成立，
∴ 是 上的增函数，可得 ，
因此， 在 上恒成立，可得 是 上的增函数．
∵ ，∴ ，可得 ，
∵ 且 ，∴不等式两边都乘以 ，
可得 ．
即对任意 ，都有不等式 成立．
【点睛】
关键点睛：运用分类讨论思想判断函数的零点个数是解题的关键.
例2．（2022·四川·成都外国语学校高二期中（文））已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)求证： ．
【答案】(1) 的单调增区间为 ，单调减区间为
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）对 求导，令导函数与大于 0，小于 0即可得出答案.
（2）设 ，对 求导，此题转化为求 .
(1)
依题意知函数的定义域为 ，∵ ，
由 ，得 ；由 ，得 ，
∴ 的单调增区间为 ，单调减区间为 ．
(2)
设 ，
∴ ，
∵当 时， ，当 时， ，
∴ 在 上为减函数， 上为增函数，
∴ ，即 ．
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