专题08 排列与组合（重难点突破）（原卷版）-【课后辅导专用】2022年春季高二数学下学期精品讲义（人教A版2019）

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专题 08 排列与组合
一、考情分析
二、考点梳理
【排列】
1．排列的概念：
从
n
个不同元素中，任取
m
（
m n
）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一
列，叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素的一个排列
m
n
A
说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；
（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同
2．排列数的定义：
从
n
个不同元素中，任取
m
（
m n
）个元素的所有排列的个数叫做从
n
个元素中取出
m
元素的排列
数，用符号
表示注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从
n
个不同元素中，任取
m
个元
素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从
n
个不同元素中，任取
m
（
m n
）个元素的所
有排列的个数，是一个数所以符号
m
n
A
只表示排列数，而不表示具体的排列
3．排列数公式及其推导：
由
2
n
A
的意义：假定有排好顺序的 2 个空位，从
n
个元素
1 2,
,n
a a a
中任取 2 个元素去填空，一个空位
填一个元素，每一种填法就得到一个排列，反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所
有不同的填法的种数就是排列数
2
n
A
．由分步计数原理完成上述填空共有
( 1)n n
种填法，∴
2
n
A
=
( 1)n n
由此，求
3
n
A
可以按依次填 3 个空位来考虑，∴
3
n
A
=
( 1)( 2)n n n 
，
求
以 按 依 次 填
m
个 空 位 来 考 虑
( 1)( 2) ( 1)
m
n
A n n n n m  
，
排列数公式：
( 1)( 2) ( 1)
m
n
A n n n n m  
（
, ,m n N m n
 
）
说明：（1）公式特征：第一个因数是
n
，后面每一个因数比它前面一个少 1，最后一个因数是
1n m 
，
共有
m
个因数；
（2）全排列：当
n m
时即
n
个不同元素全部取出的一个排列
全排列数：
( 1)( 2) 2 1 !
n
n
A n n n n  
（叫做 n 的阶乘） 另外，我们规定 0! =1 .
1 组合的概念：一般地，从
n
个不同元素中取出
m
 
m n
个元素并成一组，叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素的一个组合
说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同
【组合】
1．组合数公式的推导：
（1）从 4 个不同元素
, , ,a b c d
中取出 3 个元素的组合数
3
4
C
是多少呢？
启发：由于排列是先组合再排列，而从 4 个不同元素中取出 3 个元素的排列数
3
4
A
可以求得，故我们可以考
察一下
3
4
C
和
3
4
A
的关系，如下：
组 合 排列
dcbcdbbdcdbccbdbcdbcd
dcacdaadcdaccadacdacd
dbabdaadbdabbadabdabd
cbabcaacbcabbacabcabc
,,,,,
,,,,,
,,,,,
,,,,,
由此可知,每一个组合都对应着 6 个不同的排列，因此，求从 4 个不同元素中取出 3 个元素的排列数
3
4
A
，可以分如下两步：① 考虑从 4 个不同元素中取出 3 个元素的组合，共有
3
4
C
个；② 对每一个组合的
3 个不同元素进行全排列，各有
3
3
A
种方法．由分步计数原理得：
3
4
A
＝
3
4
C
3
3
A
，所以，
3
3
3
4
3
4A
A
C
．
2.推广：一般地，求从
n
个不同元素中取出
m
个元素的排列数
m
n
A
，可以分如下两步：
① 先求从
n
个不同元素中取出
m
个元素的组合数
m
n
C
；
② 求每一个组合中
m
个元素全排列数
m
m
A
，根据分步计数原理得：
m
n
A
＝
m
n
C
m
m
A
．
3.组合数的公式：
( 1)( 2) ( 1)
!
m
mn
nm
m
An n n n m
C
A m
 
 
或
)!(!
!
mnm
n
Cm
n
),,( nmNmn
且
规定:
01
n
C
.
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