专题08 借助“隐圆”巧求最值-2018-2019学年九年级数学人教版方法技巧专练（原卷版）

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专题 08 借助“隐圆”巧求最值

借助“隐圆”解决几何最值问题的理论依据有两个：①定圆的所有弦中，直径最长；②圆外一点与圆

心的连线上，该点和此直线与圆的近交点距离最短、远交点距离最长. 这类最值问题，首先要判断动点是

否在圆上运动，通常有两种判断方法.方法 1：无论动点在何处，动点到某一定点的距离不变，则可判断出

该动点在以定点为圆心的圆上运动；方法 2：无论动点在何处，该动点是否是斜边为定值的直角三角形的

顶点.只有确定了动点的运动轨迹是圆，才能借助“隐圆”求最值.

类型 1 根据圆的定义确定隐圆

当若个点到某一定点的距离相等时，这几个点在以定点为圆心的圆上，简称：定点定长.

【例 1】如图，在矩形 ABCD 中，AB＝4，AD＝6，点 E是AB 边的中点，F是线段 BC 边上的动点，将

△EBF 沿EF 所在直线折叠得到△EB′F，连接 B′D，则 B′D 的最小值是（ A ）

A． B.6 C. D.4

【思路点拨】根据点 E为AB 中点，BE＝B′E 可知，点 A、B、B′在以点 E为圆心，AE 长为半径的圆上，

D、E为定点，B′是动点，当 E、B′、D三点共线时，B′D 的长最小，此时 B′D＝DE－EB′，问题得解.

【方法指导】此题属于动点（B′）到一定点（E）的距离为定值（“定点定长”），联想到以 E为圆心，

EB′为半径的定圆，点 D在圆外，故点 D到圆上的最小距离为点 D到圆心的距离－圆的半径.当然此题也可

借助三角形三边关系解决，如，当且仅当点 E、B′、D三点共线时，等号成立.

针对训练

1．如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，AD=6，E是AB 边的中点，F是线段 BC 上的动点，将△EBF 沿EF 所在直

线折叠得到△EB′F ，连接 B′D，则 B′D 的最小值是（　　）

A．2 2﹣B．6 C．2 2﹣D．4

2．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，P是直线 AB 上的动点（不与点 B重合），将

△BCP 沿CP 所在的直线翻折，得到△B′CP，连接 B′A，B′A长度的最小值是 m，B′A长度的最大值是 n，则

m+n的值等于　　．

[来源:Zxxk.Com]

3．如图，在平行四边形 ABCD 中，AB＝6，AD＝2，∠A＝45°，M是AD 边的中点，N是AB 边上的一

动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A′MN，连接 A′C，则 A′C长度的最小值是　　．[来源:学科网]

4．在锐角△ABC 中，AB＝4，BC＝5，∠ACB＝45°，将△ABC 绕点 B按逆时针方向旋转，得到△DBE．

（1）当旋转成如图①，点 E在线段 CA 的延长线上时，则∠CED 的度数是　　度；

（2）当旋转成如图②，连接 AD、CE，若△ABD 的面积为 4，求△CBE 的面积；

（3）点 M为线段 AB 的中点，点 P是线段 AC 上一动点，在△ABC 绕点 B按逆时针方向旋转过程中，点 P

的对应点 P′，连接 MP′，如图③，直接写出线段 MP′长度的最大值和最小值．[来源:学*科*网Z*X*X*K]

类型 2 根据直径所对的圆周角为 90°确定隐圆

在一个直角三角形中，直角顶点可看作在以斜边为直径的圆上，简称：定弦定角.[来源:学科网 ZXXK]

【例 2】如图，E、F是正方形 ABCD 的边 AD 上两个动点，满足 AE＝DF，连接 CF 交BD 于点 G，连接

BE 交AG 于点 H，若正方形的边长是 2，则线段 DH 长度的最小值是 .

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