专题08 数形结合之四边形中的线段最值问题专练（解析版）-【考点培优尖子生专用】2021-2022学年八年级数学下册专题训练（苏科版）

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专题 08 数形结合之四边形中的线段最值问题专练（解析版）

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一、单选题

1．（2021·江苏·扬州市梅岭中学八年级期中）如图,在△ABC 中,AB=3,AC=4,BC=5,P 为边 BC 上一动

点,PE AB⊥于E,PF AC⊥于F,则EF 的最小值为( )

A．2 B．2.2 C．2.4 D．2.5

【标准答案】C

【思路指引】

根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形 AEPF 是矩形，根据矩形的对角线相等，得 EF=AP，则

EF 的最小值即为 AP 的最小值，根据垂线段最短，知：AP 的最小值即等于直角三角形 ABC 斜边上的高．

【详解详析】

连接 AP，

∵在△ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5，

∴AB2+AC2=BC2，

即∠BAC=90°，

又∵PE AB⊥于E，PF AC⊥于F，

∴四边形 AEPF 是矩形，

∴EF=AP，

∵AP 的最小值即为直角三角形 ABC 斜边上的高，即 2.4，

∴EF 的最小值为 2.4，

故选 C．

【名师指路】

本题考查了矩形的性质和判定，勾股定理的逆定理，直角三角形的性质的应用，要能够把要求的线段的

最小值转化为便于求的最小值得线段是解此题的关键．

2．（2020·江苏丹徒·八年级期末）如图，菱形 ABCD 的边长为 3，且∠ABC=600，E、F是对角线 BD 上

的两个动点，且 EF＝2，连接 AE、AF，则 AE＋AF 的最小值为（）

A．B．C．D．

【标准答案】D

【思路指引】

如图作 AH BD∥，使得 AH=EF=2，连接 CH 交BD 于F，此时 AE+AF 的值最小，

【详解详析】

解：如图作 AH BD∥，使得 AH=EF=2，连接 CH 交BD 于F，则 AE+AF 的值最小．

∵AH=EF，AH EF∥，

∴四边形 EFHA 是平行四边形，

∴EA=FH，

∵BD 所在的直线是菱形的对称轴,点A、C是对称点，（或根据 SAS 证明△ABF CBF≌△ ）

∴FA=FC，

∴AE+AF=FH+CF=CH，

∵菱形 ABCD 的边长为 3，∠ABC=60°，

∴AC=AB=3，

∵四边形 ABCD 是菱形，

∴AC BD⊥，

∵AH DB∥，

∴AC AH⊥，

∴∠CAH=90°，

在Rt△CAH 中，CH= ＝，

∴AE+AF 的最小值为，

故选：D．

【名师指路】

本题考查轴对称-最短问题，菱形的性质、勾股定理、平行四边形的判定和性质等知识，解题关键是学会

利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．

3．（2020·江苏东台·八年级月考）如图，菱形 ABCD 的边长为 4，∠DAB=60°，E为BC 的中点，在对角

线AC 上存在一点 P，使△PBE 的周长最小，则△PBE 的周长的最小值为 (　 )

A．B．C．D．

【标准答案】C

【思路指引】

如下图，△BEP 的周长=BE+BP+EP，其中 BE 是定值，只需要 BP+PE 为最小值即可，过点 E作AC 的对

称点 F，连接 FB，则 FB 就是 BP+PE 的最小值．

【详解详析】

如下图，过点 E作AC 的对称点 F，连接 FB，FE，过点 B作FE 的垂线，交 FE 的延长线于点 G

∵菱形 ABCD 的边长为 4，点 E是BC 的中点

∴BE=2

∵∠DAB=60°，∴∠FCE=60°

∵点 F是点 E关于 AC 的对称点

∴根据菱形的对称性可知，点 F在DC 的中点上

则CF=CE=2

∴△CFE 是等边三角形，∴∠FEC=60°，EF=2

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