上海市南洋模范中学2020-2021学年高二下学期开学考试数学试题 含答案

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2020—2021 学年南模高二下开学考数学试卷
（寒假作业反馈）2021.3
一、填空题：
1.与 平行的单位向量 ；
2.已知复数 是纯虚数，则实数 的值为 ；
3.直线 与直线 的夹角的大小等于 ；
4.焦点为 与 的等轴双曲线的标准方程为 ；（用反三角形式表示）
5.设实数 、 满足 ，则 的最小值为 ；
6.已知 的内角 、 、 所对应边的长度分别为 、 、 ，若 ，则角 的大
小是 ；
7.若圆锥曲线 的焦距与 无关，则它的焦点坐标是 ；
8．已知椭圆 的右焦点为 ，过原点 的直线与椭圆 交于 ， 两点，则
的取值范围为 ；
9.已知曲线 ， 上一动点 ，曲线 与直线 交于点 ，则 的
最大值是 ；
10.数列 是公差不为零的等差数列，其前 项和为 ，若记数据 ， ，…， 的方程为 ，数
据 ， ， ，…， 的方差为 ，则 ；
11．过正方体 ，的顶点 作直线 ，使 与棱 ， ， 所成的角都相等，这样
的直线 可以作 条；
12，实数 ， 满足 ，则 的取值范围是 ；
二、选择题：
13.“列向量 和 不平行”是“二元一次方程组 存在唯一解”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
14，已知 ， 表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是（ ）
A.若 ， ，则 B.若 ， ，则
C.若 ， ，则 D.若 ， ，则
15.给出下列四个命题：①若复数 ， ，满足 ，则 ；②若复数 ， 满足
，则 ；③若复数 满足 ，则 是纯虚数；④若复数 满足 ，
则 是实数，其中真命题的个数是（ ）
A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个
16，已知直线 与椭圆 交于 ， 两点，直线 与椭圆 交于 ，
两点，有下列直线 ：① ；② ；③ ；④
，其中满足 与 的面积相等的直线 可以是（ ）
A.①②③ B.①③④ C.②③④ D.①②③④
三、解答题：
17.已知 ，设 ，其中 为虚数单位，当 为何值时：
（1）在复平面上 对应的点在第二象限；
（2）在复平面上 对应的点在直线 上．
18.在长方体 中， ， ， ，点 在棱 上一点．
（1）探求 多长时，直线 与平面 成 角；
（2）当点 在棱 上移动时，求证：异面直线 与 所成角的大小为定值．
19.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的
“将军饮马”问题，这是一个数学问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回
军营，怎样周才能使得总路程最短？在平面直角坐标系中，将军从点 处出发，河岸线所在直线方程
为 ，并假定将军只要到底军营所在区域即为回到军营．
（1）若军营所在区域为 ，求“将军饮马”的最短总路程；
（2）若军营所在区域为 ，求“将军饮马”的最短总路程．
20.已知直线 是双曲线 的一条渐近线，点 ， 都在双曲线
上，直线 与 轴相交于点 ，设坐标原点为 ．
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