广东省深圳市南山区2022-2023学年高二上学期期末质量监测数学试题答案及评分标准

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高二数学参考答案及评分标准 第 1 页 共 9 页
绝密★启用前 试卷类型：A
南山区 2022-2023 学年度第一学期期末质量监测
高二数学参考答案与评分参考
一、单项选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
B
A
D
B
C
D
8．著名的斐波那契数列是意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，又称兔子数列，记
该数列为
{}
n
a
，则
11a
，
21a
，且
()n
N
．已知斐波那契数列有诸多
特殊的性质，例如：（1）
21 1 2 1n n n n n
a a a a a
 

；（2）斐波那契数列中各项的个位数是
以
60
为周期变化的，则由上述性质可知
2 2 2 2
1 2 3 365
a a a a   …
的个位数为
A．
6
B．
5
C．
2
D．
0
解析：由性质（1）可知
2
2 2 3 2 1
a a a a a
，
2
3 3 4 3 2
a a a a a
，
2
4 4 5 4 3
a a a a a
，
…
，
2
365 365 366 365 364
a a a a a
，
将上述等式相加，得
2 2 2 2
2 3 4 365 365 366 2 1
a a a a a a a a  
，
∵
12
1aa
，∴
2222 2
1 2 3 4 365 365 366
a a a a a a a   
由性质（2）可知
365
a
与
5
a
的个位数相同，
366
a
与
6
a
的个位数相同，且不难知道
55a
，
68a
，
∴
56
aa
的个位数为
0
，即
365 366
aa
的个位数亦为
0
，
∴
2 2 2 2
1 2 3 365
a a a a   …
的个位数为
0
，故应选 D.
二、多项选择题：
题号
9
10
11
12
答案
ABD
BC
BD
ACD
12．已知椭圆
22
1:1
4
x
Cy
和
22
2:4
x
Cy

( 1)
，点
00
( , )M x y
00
( 0)xy
在
1
C
上，且
直线
00
44x x y y
与
2
C
交于
A
，
B
两点，若点
N
在
2
C
上，使得
ON OA OB
，则
下列结论正确的为
A．
1
C
，
2
C
的离心率相等 B．
2
C．直线
ON
，
AB
的斜率之积为定值 D．四边形
OANB
的面积为
43
解析： 设点
11
( , )A x y
，
22
( , )B x y
，
1
C
的离心率为
1
e
，
2
C
的离心率为
2
e
，
高二数学参考答案及评分标准 第 2 页 共 9 页
考查选项 A：由题可知
13
2
e
，
21
43
42
ee

 
，故选项 A正确；
考查选项 B：联立方程
0
2
0
2,
4 4,
4
xy
y
x
x
y

得
22
00
2 4 4 0x x x y
 
，∴
1 2 0
2x x x
，
由题可知
22
001
4
xy
，∴
2
0 1 0 2 0 1 2 0
1 2 0
0 0 0
4 4 8 ( ) 8 2
4 4 4
x x x x x x x x
y y y
y y y
 
 
，
∵
00
(2 ,2 )N x y
在
2
C
上，∴
22
00
44
4
xy

，∴
4
，故选项 B错误；
考查选项 C：由 B选项可知
22
2:1
16 4
xy
C
，
00
(2 ,2 )N x y
，则
0012
0 0 1 2
2
2
ON
yyyy
kx x x x
，
∵
12
12
AB
yy
kxx
，且
22
11
1
16 4
xy

①，
22
22
1
16 4
xy

②，①
②并整理得
22
12
22
12
1
4
yy
xx

，
∴
22
12
22
12
1
4
ON AB
yy
kk xx
 
，即直线
ON
，
AB
的斜率之积为定值
1
4
，故选项 C正确；
考查选项 D：显然四边形
OANB
为平行四边形，其面积记为
1
S
，△
OAB
的面积记为
2
S
，
∵
00 0xy
，∴
l
与
y
轴必有交点，不妨设为
P
，易知
0
1
(0, )Py
，
则由几何关系可知
12
0
211
| | | |
2
Sxx
y
 
，∴
1 2 1 2
0
1
2 | | | |S S x x
y
 
，
由B选项及韦达定理，可知
1 2 0
2x x x
，
2
1 2 0
4 16x x y
，且
22
001
4
xy
，
∴
2 2 2
1 1 2 1 2 0 0
00
11
| | ( ) 4 | | 4 4(4 16 ) 4 3S x x x x x y
yy
 
，故选项 D正确，
综上所述，应选 ACD.
三、填空题：
13．
4
； 14．
2
； 15．
2π
3
（或
120
）； 16．
2
．
16．如图，在直角△
ABC
中，
1AB
，
2BC
，
D
为斜边
AC
上异于
A
，
C
的动点，若将△
ABD
沿折痕
BD
翻折，
使点
A
折至
1
A
处，且二面角
1
A BD C
的大小为
π
3
，
则线段
1
AC
长度的最小值为 ．
第16 题图
高二数学参考答案及评分标准 第 3 页 共 9 页
解析：过点
1
A
，
C
分别作直线
BD
的垂线，垂足依次为
M
，
N
，
∴
11
AC A M MN NC  
，
10A M MN
，
0NC MN
，
记
1
A BD

，则
π
(0, )
2
，∴
1
| | sinAM
，
π
| | 2sin( ) 2cos
2
NC

 
，
∵二面角
1
A BD C
的大小为
π
3
，∴
1
,NC MA
的夹角为
π
3
，
∴
1 1 1
= | | | | πsicos n cos
3
NC A M NC MA NC MA

 
，
且
π
| | || | | || | 2cos( ) cos | |2sin cos |
2
MN BN BM
 
 
，
∴
2 2 2 2 2
1 1 1 1
| | ( ) | | | | | | 2AC A M MN NC A M MN NC NC A M  
2 2 2
(sin ) (2sin cos ) (2cos ) 2sin cos 5 3sin2 2
 
 
，
∴
1
| | 2AC
，且当
sin2 1
，即
π
4
时，等号成立，
故线段
1
AC
长度的最小值为
2
，应填
2
．
三、解答题：本大题共 6小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10 分）
已知圆
1
C
的圆心为
( 1,0)
，且经过坐标原点
O
．
(1)求
1
C
的标准方程；
(2)设圆
2 2 2
2:( 2) ( 4) ( 0)C x y r r  
，若
1
C
与
2
C
相交，求
r
的取值范围．
解：(1) 记
1
C
的半径为
1
r
，
∵
1
C
的圆心为
( 1,0)
，且经过坐标原点
O
，∴半径
11
1r OC
，………………………2分
∴
1
C
的标准方程为
22
( 1) 1xy  
．…………………………………………………………4分
(2) ∵
1
C
的圆心为
( 1,0)
，
2
C
的圆心为
(2,4)
，∴两圆圆心距
12 5d C C
，…………5分
∵
1
C
与
2
C
相交，∴
11
   r r d r r
， ……………………………………………………7分
∴
1 5 1  rr
，……………………………………………………………………………8分
∴
46r
，∴
r
的取值范围为
(4,6)
．……………………………………………………10 分
18．（12 分）
已知数列
{}
n
a
，满足
14a
，
41a
，且
21
20
n n n
a a a

 
()n
N
．
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