吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年高三上学期第三次摸底考试 数学答案

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2023-2024 学年上学期
东北师大附中 数学学科试卷
高三年级 第三次摸底考试
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分.在每个小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 已知集合
 
2
Z 2 3 0A x x x  ∣
，则集合
A
的子集个数为（ ）
A. 3 B. 4 C. 8 D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】解一元二次不等式，并结合已知用列举法表示集合 A作答.
【详解】解不等式
22 3 0x x  
，得
1 3x 
，因此
 
3Z {0,1,1 2}A xx   ∣
，
所以集合
A
的子集个数为
3
2 8
.
故选：C
2. 设
   
1 i 2 1 iz 
，则
z
（ ）
A.
B. 1 C.
2
D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的乘法运算以及模长公式求解.
【详解】由
   
1 i 2 1 iz 
可得
   
2
1 i 1 i 2 1 iz  
，
所以
 
2
1 i 2iz 
，
故
2z
，
故选：D
3. 十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产
物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间
 
0,1
均分为三段，去掉中间的区间段
1 2
,
3 3
 
 
 
，记
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为第一次操作；再将剩下的两个区间
1 2
0, , ,1
3 3
   
   
   
分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二
次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉
中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间
长度之和不小于
9
10
，则需要操作的次数
n
的最小值为（参考数据：
lg 2 0.3010, lg 3 0.4771 
）（ ）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】先由题设得到前几次操作去掉的区间的长度，然后总结出第
n
次操作去掉的区间的长度和为
1
2
3
n
n
，
把
n
次操作和去掉的区间的长度之和转化为等比数列的前
n
项和，求出前
n
项和
n
S
，再求解不等式
9
10
n
S
即可．
【详解】第一次操作去掉的区间长度为
1
3
；
第二次操作去掉两个长度为
1
9
的区间，长度和为
2
9
；
第三次操作去掉四个长度为
1
27
的区间，长度和为
4
27
；
，
第
n
次操作去掉
个长度为
1
3n
的区间，长度和为
1
2
3
n
n
，
于是进行了
n
次操作后，所有去掉的区间长度之和为
1
1 2
[1 ( ) ]
1 2 2 2
3 3 1 ( )
2
3 9 3 3
13
n
n
n
nn
S
 
，
由题意知：
2 9
1 ( )
3 10
n
 
，解得：
5.679n
，
又
n
为整数，
可得
n
的最小值为 6，
故选：A
4. 命题“
2
R, 2 3 0x x x 
”的否定是（ ）
A.
2
R, 2 3 0x x x 
B.
2
R, 2 3 0x x x 
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C.
2
R, 2 3 0x x x 
D.
2
R, 2 3 0x x x 
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.
【详解】根据全称命题与存在性命题的关系得，
命题“
2
R, 2 3 0x x x 
”的否定是“
2
R, 2 3 0x x x 
”.
故选：D.
5. 底面边长为 4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为 2，高为 3的正四棱锥，所
得棱台的体积为（ ）
A. 26 B. 28 C. 30 D. 32
【答案】B
【解析】
【分析】用棱台的体积公式
 
1 2 1 2
1
3
V h S S S S  
求解，其中
h
为高，
1 2
,S S
分别为上下底面积.
【详解】
设正四棱锥为
S ABCD
，截取的正四棱锥为
1 1 1 1
S A B C D
，
1,O O
分别为正四棱台
1 1 1 1
A B C D ABCD
上
下底面的中心，如图.
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