四川省眉山市仁寿县2024届高三下学期三诊模拟联考试题 数学（理） Word版含解析

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2021 级高三（下）第三次模拟考试
理科数学
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1．已知集合 ， ，则 （）
A．B． C． D．
2．若复数 z满足 ，则 的虚部为（）
A．－2B．－1C．1D．2
3．运行图示程序框图，则输出 A的值为（）．
A．170B．165C．150D．92
4．已知数列 满足 ，则“ ”是“
是递增数列”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．在 中， ， 是 的外心， 为 的中点， ， 是直线 上
异于 、 的任意一点，则 （）
A．3 B．6 C．7 D．9
6．敏感性问题多属个人隐私．对敏感性问题的调查方案，关键是要使被调查者愿意作出真实回答
又能保守个人秘密．例如为了调查中学生中的早恋现象，现有如下调查方案：在某校某年级，被调
查者在没有旁人的情况下，独自一人回答问题．被调查者从一个罐子中随机抽一只球，看过颜色后
即放回，若抽到白球，则回答问题 A；若抽到红球，则回答问题 B．且罐中只有白球和红球．
问题 A：你的生日是否在 7月1日之前?（本次调查中假设生日在 7月1日之前的概率为 ）
问题 B：你是否有早恋现象？
已知一次实际调查中，罐中放有白球 2个，红球 3个，调查结束后共收到 1585 张有效答卷，其中有
393 张回答“是”，如果以频率替代概率，则该校该年级学生有早恋现象的概率是（）（精确到
0.01）
A．0.08 B．0.07 C．0.06 D．0.05
7．若 ，且 ，则 的值为（）
A．B．C．D．
8．一个信息设备装有一排六只发光电子元件，每个电子元件被点亮时可发出红色光､蓝色光､绿色
光中的一种光.若每次恰有三个电子元件被点亮，但相邻的两个电子元件不能同时被点亮，根据这三
个被点亮的电子元件的不同位置以及发出的不同颜色的光来表示不同的信息，则这排电子元件能表
示的信息种数共有（）
A．60 种B．68 种C．82 种D．108 种
9．已知函数 ，关于 的命题：① 的最小正周期为
；② 图像的相邻两条对称轴之间的距离为 ；③ 图像的对称轴方程为
；④ 图像的对称中心的坐标为 ；⑤ 取最大值时
.则其中正确命题是（）
A．①②③ B．①③⑤ C．②③⑤ D．①④⑤
10．直线 过双曲线 的右焦点 ，且与 的左、右两支分别交于 A，B两点，
点 关于坐标原点对称的点为 ，若 ，且 ，则 的离心率为（）
A．3 B．C．2 D．
11．如图，在棱长为 1的正方体 中，已知 ， 分别为线段 ， 上的动点，
为 的中点，则 的周长的最小值为（）
A． B． C． D．
12．已知函数 存在极小值点 ，且 ，则实数
的取值范围为（）
A．B．C． D．
二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分.
13．已知 为偶函数，则 .
14．已知实数 x，y满足 则 的最大值是．
15．已知三棱柱中， 是边长为 2的等边三角形，四边形 为菱形，
，平面 平面 ， 为 的中点， 为 的中点，则三棱锥
的外接球的表面积为.
16．如图，已知 ， ， 为 边上的两点，且满足
， ，则当取最大值时，
的面积等于.
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21 题为必考
题，每个试题考生都必须作答.第22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共 60 分.
17．已知 为各项均为正数的数列 的前 项和, .
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ,若对 恒成立，求实数 的最大值.
18．2023 年，全国政协十四届一次会议于3月4日下午3时在人民大会堂开幕，3月11 日下午闭
幕，会期7天半；十四届全国人大一次会议于3月5日上午开
幕，13 日上午闭幕，会期8天半.为调查居民对两会相关知识的
了解情况，某小区开展了两会知识问答活动，现将该小区参与该
活动的 240 位居民的得分（满分 100 分）进行了统计，得到如下
的频率分布直方图.
(1)若此次知识问答的得分X服从 ，其中 近似为参与
本次活动的 240 位居民的平均得分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），求
的值；
(2)中国移动为支持本次活动提供了大力支持，制定了如下奖励方案：参与本次活动得分低于 的居
民获得一次抽奖机会，参与本次活动得分不低于 的居民获得两次抽奖机会，每位居民每次有 的
机会抽中一张 10 元的话费充值卡，有 的机会抽中一张 20 元的话费充值卡，假设每次抽奖相互独
立，假设该小区居民王先生参与本次活动，求王先生获得的话费充值卡的总金额 Y（单位：元）的
概率分布列，并估计本次活动中国移动需要准备的话费充值卡的总金额（单位：元）
参考数据： ， ，
.
19．已知正方形的边长为 4， ， 分别为 ， 的中点，以 为棱将正方形 折成如图
所示的 的二面角．
(1)若 为 的中点， 在线段 上，
且直线 与平面 所成的角为 ，
求此时平面 与平面 的夹角的余
弦值．
(2)在（1）的条件下，设
， ， ，且四面体 的体积为 ，求 的值．
20．已知长为 的线段 的中点为原点 ，圆 经过 两点且与直线 相切，圆心
的轨迹为曲线 .
(1)求曲线 的方程；
(2)过点 且互相垂直的直线 分别与曲线 交于点 和点 ，且 ，四边形
的面积为 ，求实数 的值.
21．已知函数 在点 处的切线斜率为 1．
(1)求实数 的值并求函数 的极值；
(2)若 ，证明： ．
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的
第一题计分.
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
22．在直角坐标系中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）.以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 .
(1)求曲线 的普通方程与直线 的直角坐标方程；
(2)点 分别为曲线 与直线 上的动点，求 的最小值.
[选修4-5：不等式选讲]（10 分）
23．已知函数
(1)求不等式 的解集 ；
(2)设 的最小数为 ，正数 满足 ，求 的最小值.
2021 级高三下学期第三次模拟试题
理科数学参考答案：
1．B
【分析】将集合 化简，再由交集的运算，即可得到结果.
【详解】因为 ， ，
所以.
故选：B.
2．C
【分析】利用复数除法运算及i的周期性运算即可.
【详解】因为 ，所以 ，
则 ，故的虚部为 1.
故选:C．
3．B
【分析】根据程序框图逐步计算即可.
【详解】因为 ，
所以执行循环体得，
由不成立，
所以执行循环体得，
由 成立，所以 ，然后输出 .
故选：B
4．A
【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合递增数列的意义判断即得.
【详解】当 时， ，则 ， 是递增数列；
反之，当时， ，数列 递增，因此数列 是递增数列时， 可以不小于 3，
所以“ ”是“ 是递增数列”的充分不必要条件.
故选：A
5．B
【分析】根据外心的性质得到 ，设 ，根据数量积的运算律得到
，再由数量积的定义及几何意义求出 ，从而得解.
【详解】因为 是 的外心， 为 的中点，设 的中点为 ，连接 ，

所以 ， ，设 ，
则
，
又 是 的外心，所以
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