北京市育英学校2021高三届统一练习2数学试卷参考答案及评分标准

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1
2021 高三统一练习 2
数学试卷参考答案及评分标准
一、选择题（共 10 小题，每小题 4分，共 40 分）
二、填空题（共 5小题，每小题 5分，共 25 分）
（11）
5
（12）
24
n
S n n 
（13）
5
（14）
1
3
；
22
（15）①②
（注：第 14 题第一空 3分,第二空 2分；第15 题全部选对得 5分，不选或有错选得
0
分，其
他得 3分.）
三、解答题共 6小题，共 85 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（16）（本小题满分 14 分）
解：（Ⅰ）在
ABC
中，由正弦定理，
因为
，
所以
3sin cos sin sin .A B B A
……………..2 分
因为
sin 0A
，
所以
3cos sin .BB
所以
tan 3.B
……………..4 分
因为
0πB
，
所以
π
3
B
. ……………..6分
（Ⅱ）因为
2b
，
2ca
，由余弦定理
2 2 2 2 cosb a c ac B  
可得
22 1
4 4 2 2 2
a a a a  
. ……………..8 分
所以
2 3 4 3
,.
33
ac
……………..12 分
所以
1 1 2 3 4 3 3 2 3
sin
2 2 3 3 2 3
ABC
S ac B
  
. ……………..14分
题 号
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
答 案
B
D
C
A
B
D
A
A
A
D
2
M
z
y
x
P
A
B
C
D
E
（17）（本小题满分 14 分）
解1；选择①
因为
PA
平面
ABCD
，
所以
PA AD
，
PA CD
. ……………..1 分
因为
2PA AD CD  
，
所以
22PD
.
因为
23PC
，
所以
2 2 2
CD PD PC
.
所以
CD PD
. …………….4 分
因为
PA PD P
，
所以
CD
平面
PAD
. …………….6分
所以
CD AD
.
因为
CD BC
，
所以
//AD BC
. …………….7 分
所以四边形
ABCD
是直角梯形.
解2；选择②
因为
PA
平面
ABCD
，
所以
PA AD
，
PA CD
. ……………..1 分
因为
2PA AD CD  
，
所以
22PD
.
因为
23PC
，
所以
2 2 2
CD PD PC
.
所以
CD PD
.…………….4 分
因为
PA PD P
，
所以
CD
平面
PAD
.
所以
CD AD
. …………….6 分
因为
//BC
平面
PAD
，
BC
平面
ABCD
，平面
PAD
平面
=ABCD AD
，
所以
//BC AD
.
所以四边形
ABCD
是直角梯形. …………….7 分
过
A
作
AD
的垂线交
BC
于点
M
.
因为
PA
平面
ABCD
，
所以
,PA AM PA AD
. …………….8 分
如图建立空间直角坐标系
A xyz
. …………….9 分
3
则
(0,0,0), (2,2,0), (0,2,0), (0,0,2)A C D P
.
因为
E
为
PB
中点，
所以
1
(1, ,1)
2
E
.
所以
1
(1, ,1), (2,2, 2), (0,2, 2)
2
AE PC PD 
. …………….10 分
设平面
PCD
的法向量为
( , , )n x y z
，则
0,
0.
n PC
n PD


即
2 2 2 0,
2 2 0.
x y z
yz
 

…………….11 分
令
1,y
则
1, 0zx
.
于是
(0,1,1)n
. …………….12 分
设直线
AE
与平面
PCD
所成的角为
，
所以
11 1 1 2
2
sin | cos , | 36
| || | 22
n AE
n AE n AE
 
 
.
所以直线
AE
与平面
PCD
所成角的正弦值为
2
6
. …………….14 分
(18)（本小题满分 14 分）
解：（Ⅰ）因为
(0.05+0.1+0.18+ 0.32 0.1 0.03 0.02) 1 1a  
，
所以
0.2a
. …………….2 分
因为
0.2 1 100=20
，
所以居家自主学习和锻炼身体总时间该天在
[5,6)
的学生有
20
人. …….3 分
所以从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身
体总时间在
[5,6)
的概率为
20 =0.2
100
. …………….5 分
（Ⅱ）由图中数据可知该天居家自主学习和锻炼身体总时间在
[2,3)
和
[8,9)
的人分别有
5人和 3人. …………….6分
所以
X
的所有可能取值为 0,1,2,3. …………….7分
3
5
3
8
5
( 0) 28
C
PX C
 
，
21
53
3
8
15
( 1) 28
CC
PX C
 
,
12
53
3
8
15
( 2) 56
CC
PX C
 
，
3
3
3
8
1
( 3) 56
C
PX C
 
. …………….9分
摘要：

12021高三统一练习2数学试卷参考答案及评分标准一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）（12）（13）（14）；（15）①②（注：第14题第一空3分,第二空2分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得分，其他得3分.）三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（16）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）在中，由正弦定理，因为，所以……………..2分因为，所以所以……………..4分因为，所以.……………..6分（Ⅱ）因为，，由余弦定理可得.……………..8分所以……………..12分所以.………

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