北京市育英学校2021届高三统一练习1数学试卷答案

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高三数学试题参考答案 第1页共 7页
育英学校 2021 届高三数学第 1次阶段性测试
数学试卷参考答案 2020.6
一、选择题：共 10 小题，每小题 4分，共 40 分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
D
B
A
C
C
B
A
D
二、填空题：共 5小题，每小题 5分，共 25 分．
11．
1
( ,0)
4
12．20 13．
10
；
30
14．
1
8
；
15. ①②④．
备注：
（1）若小题有两问，第一问 3分，第二问 2分；
（2）第 15 题答案为①②④之一，3分；为①②④之二，4分；为①②④，5分；其它答案 0分．
三、解答题：共 6小题，共 85 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16.（本小题满分 14 分）
（Ⅰ）证明：在直三棱柱
1 1 1
ABC A B C
中，侧面
11
ACC A
为矩形．
因为
1
1
2
AC BC AA
，
D
是棱
1
AA
的中点，
所以
ADC
和
11
A DC
均为等腰直角三角形．
所以
o
11
45ADC ADC  
．
因此
o
190C DC
，即
1
C D DC
．
因为
1
DC BD
，
BD DC D
，
所以
1
DC
平面 BCD．
因为
BC
平面 BCD，
所以
1
DC BC
．
（Ⅱ）解：因为
1
CC
平面
ABC
，
AC
平面
ABC
，
BC
平面
ABC
，
所以
1
CC AC
，
1
CC BC
．
又因为
1
DC BC
，
1 1 1
CC DC C
，
所以
BC
平面
11
ACC A
．
因为
AC
平面
11
ACC A
，所以
BC AC
以
C
为原点建立空间直角坐标系，如图所示．
不妨设
1AC
，
则
(0,0,0)C
，
(1,0,0)A
，
(010)B，，
，
(101)D，，
，
1(10 2)A，，
，
1(0,0,2)C
，
所以
1(0,0, 1)AD
，
1( 1,1, 2)AB 
，
1(1,0, 1)CD
，
1(0,1, 2)CB
．
设平面
1
A BD
的法向量
 
x y z， ，m
，
C1
A
B
C
A1
B1
第16 题图
D
D
C1
A
B
C
A1
B1
第16 题图
z
x
y
高三数学试题参考答案 第2页共 7页
由
1
1
0
0.
AD
AB


，m
m
得
0
2 0.
z
x y z

 
，
令
1x
，则
(1,1,0)m
．
设平面
1
C BD
的法向量
 
x y z， ，n
，
由
1
1
0
0.
CD
CB


，n
n
得
0
2 0.
xz
yz


，
令
1x
，则
(1,2,1)n
．
则有
1 1 1 2 0 1 3
cos , .
| | | | 2
26
  
 
mn
mn mn
因为二面角
1
A BD C
为锐角，
所以二面角
1
A BD C
的大小为
π
6
．
17. （本小题满分 15 分）
（Ⅰ）解：因为
22
( )=2 3sin cos cos sinf x x x x x
=
3sin2 cos2xx
=
π
2sin(2 )
6
x
．
所以函数
()fx
的最小正周期
πT
．
因为函数
sinyx
的的单调增区间为
π π
[2π,2π],
22
k k k  Z
，
所以
π π π
2π22π,
2 6 2
k x k k  Z≤ ≤
，
解得
π π
π π,
36
k x k k  Z≤ ≤
．
所以函数数
()fx
的的单调增区间为
π π
[π,π],
36
k k k  Z
，
（Ⅱ）解：若选择①
由题意可知，不等式
()f x m≥
有解，即
max
()m f x≤
．
因为
π
[0, ]
2
x
，所以
π π 7π
2
6 6 6
x≤ ≤
．
故当
π π
262
x=
，即
π
6
x
时，
()fx
取得最大值，且最大值为
π
( ) 2
6
f
．
所以
2m≤
．
若选择②
由题意可知，不等式
()f x m≥
恒成立，即
min
()m f x≤
．
因为
π
[0, ]
2
x
，所以
π π 7π
2
6 6 6
x≤ ≤
．
高三数学试题参考答案 第3页共 7页
故当
π7π
266
x=
，即
π
2
x
时，
()fx
取得最小值，且最小值为
π
( ) 1
2
f
．
所以
1m≤
．
18．（本小题满分 14 分）
（Ⅰ）解：记“在抽取的2人中至少有 1位消费者在去年的消费超过 4000 元”为事件 A.
由图可知，去年消费金额在
(3200,4000]
内的有 8人，在
(4000,4800]
内的有 4人，
消费金额超过 3200 元的“健身达人”共有 8+4=12（人），
从这 12 人中抽取 2人，共有
2
12
C
种不同方法，
其中抽取的 2人中至少含有 1位消费者在去年的消费超过 4000元，共有
1 1 2
8 4 4
C C C
种不同方法．
所以，
()PA
1 1 2
8 4 4
2
12
19
=33
C C C
C
．
（Ⅱ）解：方案 1 按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取 25 位“幸运之星”，
则“幸运之星”中的普通会员、银卡会员、金卡会员的人数分别为
8 20 25 7
100

，
25 35 25 15
100

，
12 25 3
100 
，
按照方案 1奖励的总金额为
17 500 15 600 3 800 14900
 
（元）．
方案 2 设
表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金，
则
的可能取值为 0，200，300．
由题意，每摸球 1次，摸到红球的概率为
1
2
1
5
2
5
C
PC

，
所以
0 3 0 1 2 1
33
3 2 3 2 81
( 0) ( ) ( ) ( ) ( )
5 5 5 5 125
P C C
 
，
2 1 2
33 2 36
( 200) ( ) ( )
5 5 125
PC
 
，
3 0 3
33 2 8
( 300) ( ) ( )
5 5 125
PC
 
．
所以
的分布列为：
数学期望为
81 36 8
0 200 300 76.8
125 125 125
E
   
（元），
按照方案 2奖励的总金额为
2(28 60 2 12 3) 76.8 14131.2
 
（元），
因为由
12

，所以施行方案 2投资较少．
摘要：

高三数学试题参考答案第1页共7页育英学校2021届高三数学第1次阶段性测试数学试卷参考答案2020.6一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分．题号12345678910答案ABDBACCBAD二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分．11．12．2013．；14．；15.①②④．备注：（1）若小题有两问，第一问3分，第二问2分；（2）第15题答案为①②④之一，3分；为①②④之二，4分；为①②④，5分；其它答案0分．三、解答题：共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在直三棱柱中，侧面为矩形．因为，是棱的中点，所以和均为等腰直角三...

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