专题05 （直线与椭圆的位置关系问题)(教案)-备战2021年高考数学中平面解析几何知识点提优（江苏专用）

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专题五 直线与椭圆的位置关系问题
例题 1.（2020 山东，22 题）已知椭圆
C:
+¿
¿1(a>b>0)
的离心率为 ，且过点
A(2,1)
．
(1)
求C的方程
;
(2)
点M，N在C上，且 AM AN，AD MN，D为垂足
证明：存在定点 Q，使得
¿DQ∨¿
为定值．
【分析】
本题考查椭圆的几何性质及直线与椭圆的位置关系，属于难题．
⑴
根据条件列方程求解即可．
⑵
联立直线与椭圆的方程，根据根与系数的关系结合两直线的斜率之积为
−1
化简即可证明．
思维升华
解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程组求解点的坐标或利用根与系数的关系求解.涉及中点问题也
可以用点差法.
基本知识
离心率：
椭圆标准方程：
焦点在 轴：
江苏高考对直线与椭圆的位置关系的考察比较多，题目多以解答题的形式出现。而且
位置都比较靠后。对学生的运算能力要求比较高，同时要求学生能够有“数形结合”
的思想。联立方程组，利用根与系数求解。
1. 直击高
考
1
焦点在 轴：
【答案】
⑴
解：由题意可知
c
a=
√
2
2
，
4
a2+1
b2=1
，
a2=b2+c2
，
解得
a2=6
，
b2=3
，
所以椭圆方程为
x2
6+y2
3=1
．
⑵
证明：设点
M(x1, y1)
，
N(x2, y2)
，
因为
AM ⊥AN
，所以
y1−1
x1−2⋅y2−1
x2−2=−1
，
所以
y1y2−(y1+y2)+1=− x1x2+2(x1+x2)−4
，
①
当k存在的情况下，设
MN :y=kx +m
，
联立
{
y=kx +m ,
x2+2y2=6
得
(1+2k2)x2+4kmx+2m2−6=0
，
由
Δ>0
，得
6k2−m2+3>0
，
由根与系数的关系得
x1+x2=−4km
1+2k2
，
x1x2=2m2−6
1+2k2
，
所以
y1+y2=k(x1+x2)+2m=2m
1+2k2
，
y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=m2−6k2
1+2k2
，
2
代入
①
式化简可得
4k2+8km+(m−1)(3m+1)=0
，
即
(2k+m −1)(2k+3m+1)=0
，
所以
m=1−2k
或
m=−2k+1
3
，
所以直线方程为
y=kx+1−2k
或
y=kx − 2k+1
3
，
所以直线过定点
(2,1)
或
(2
3, − 1
3)
，
又因为
(2,1)
和A点重合，故舍去，
所以直线过定点
E(2
3,− 1
3)
，
所以 AE 为定值，又因为
▵AED
为直角三角形，AE 为斜边，
所以 AE 中点 Q满足
¿QD∨¿
为定值
2
√
2
3
，此时
Q(4
3,1
3)
．
例2.（2020 北京，20 题）已知椭圆 C：
x2
a2+y2
b2=1
过点
A(−2,− 1)
，且
a=2b
．
¿
Ⅰ
¿
求椭圆 C的方程；
¿
Ⅱ
¿
过 点
B(−4,0)
的 直 线 l交 椭 圆 C于 点 M，N， 直 线 MA ，NA 分 别 交 直 线
x=−4
于 点 P，
Q .
求
¿PB∨¿
¿BQ∨¿¿ ¿
的值．
【答案】解：
¿
Ⅰ
¿
椭圆 C：
x2
a2+y2
b2=1
过点
A(−2,− 1)
，
且
a=2b
，
3
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