河南省南阳市2022年秋期高中三年级数学试题（理）期末考试参考答案

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高三数学（理）参考答案 第1页（共 7页）
2022 年秋期高中三年级期终质量评估数学（理）
参考答案
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
B
A
B
B
D
A
D
D
A
B
C
二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分）
13．
150
14．
1
3
15．
16．
2
1
e



，
三、解答题（本大题共 6小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【解析】
(1) 当
1n
时，
2
)2)(1( 11
11
aa
aS
，解得：
2
1a
或者
1
1a
，………2分
因为
0
n
a
，故
2
1a
．……………………………………………………………3分
方法一：因为
2
)2(
2
)( 1
nn
n
anaan
S
，所以
2
)2)(1(
2
)2(
nnn aaan
，
又
0
n
a
，即可得
1nan
．………………………………………………………6分
方法二：当
2n
时，
2
)2)(1(
222
22
aa
aS
，易得：
3
2a
．
因为数列
是等差数列，故
1nan
．…………………………………………6分
(2) 由(1)知，
n
nnb )
9
8
()1(
，故
1
1)
9
8
()2(
n
nnb
．
187
()
99
n
nn
n
bb
 
，…………………………………………………………8分
当
7n
时，
nn bb
1
；
当
7n
时，
nn bb
1
；
高三数学（理）参考答案 第2页（共 7页）
当
7n
时，
nn bb
1
;………………………………………………………………11 分
故数列
的最大项为
78
,bb
，即
78n或
………………………………………12 分
18．【解析】
(1)记一轮踢球，甲进球为事件 A，乙进球为事件 B，A，B相互独立，
由题意得：
 
1 1 2
1
2 5 5
PA 
 


，
 
2 1 1
1
3 2 3
PB 
 


，………………………2 分
甲的得分 X的可能取值为-1,0,1，………………………………………………………3 分
 
 
 
2 1 1
11
5 3 5
P X P AB P A P B 
 


，
 
 
0P X P AB P AB 
   
 
 
2 1 2 1 8
11
5 3 5 3 15
P A P B P A P B  
 
 
 
 
 
 
 
2 1 4
11
5 3 15
P X P AB P A P B 
 


，
所以 X的分布列为：
.……………………………………………………6 分
所以
 
1 8 4 1
1 0 1
5 15 15 15
EX 
.……………………………………………7 分
(2)根据题意，经过第 2轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的情况有三种；
分别是：甲两轮中第 1轮得 0分，第 2轮得 1分；
或者甲第 1轮得 1分，第 2轮得 0分；
或者甲两轮各得 1分，………………………………………………………………10 分
于是：
   
20 1 1 0 1p P X P X P X P X P X

   

8 4 4 8 4 16
15 15 15 15 15 45

  


.…………………………………………………12 分
X
-1
0
1
P
1
5
8
15
4
15
高三数学（理）参考答案 第3页（共 7页）
19．【解析】
(1)证明：因为 PB⊥底面 ABCD，所以 PB⊥BC．
又底面 ABCD 为直角梯形，且
2
ABC BAD
 
，所以 AB⊥BC．…………2 分
因此 BC⊥平面 PAB．…………………………………………………………………3分
因为
BC AD∥
，
BC PAD平面
，
所以
BC PAD∥平面
．
又由题平面 PAD 与平面 PBC 的交线为 l,
所以
l BC∥
，…………………………………………………………………………5分
故
l PAB平面
．……………………………………………………………………6 分
(2)以B为坐标原点，
BC
的方向为 x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 B－xyz，
则B(0，0，0)，C(2，0，0)，A(0，1，0)，P(0，0，1)，…………………………7分
由(1)可设 Q(a，0，1)，则
( 01)BQ a
＝ ，，
．设
()n x y z＝ ， ，
是平面 QAB 的法向量，
则
0
0
n BQ
n BA
 
 


,即
0
0
ax z
y

，可取
( 1,0, )na＝
………………………………8分
所以
2
1
cos 31
n PD a
n PD n PD a
 
 
〈 ， 〉  


．
设PD 与平面 QAB 所成角为 θ，
则
2
2
1
3 3 2
1
3 3 1
1
aa
θa
a
sin ＝
；
因此:
当
0a
时，可得
2
3 2 6
1
3 1 3
a
a
 
(当且仅当 a＝1时等号成立). ………10 分
又当
0a
时，易知不符合题意. ……………………………………………………11 分
所以 PD 与平面 QAB 所成角的正弦值的最大值为
6
3
．…………………………12 分
20．【解析】
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