甘肃省天水市一中2021届高三上学期第三学段考试数学（理）试题答案
天水市一中 2018 级 2020-2021 学年度第三次考试
参考答案（理）
一、单选题（每小题 5 分，共 60 分）
1．B 2．C 3．B 4．C 5.C 6．A 7．D 8．B 9．C 10．D 11．A 12．D
二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13． 14．-1 15.
81
32
16．①②④
三、解答题（第 17 题 10 分，第 18—22 题均为 12 分，共 70 分）
17．（1） ； （2）
18．（1）[证明] 由an＋1＝3an＋2n－1，得an＋1＋n＋1＝3(an＋n)．
又a1＋1＝2，
所以{an＋n}是首项为 2，公比为 3的等比数列，
（2）由（1）得an＋n＝2·3n-1，因此
19．[解] (1)可设圆心坐标为 C(a,4－a)．设圆 C的半径为 r，则圆 C的标准方
程可设为(x－a)2＋(y－4＋a)2＝r2.因为圆 C经过点 A(7,0)，所以(7－a)2＋(a－4)2
＝r2.① 因为 r2＝d2＋2，即r2＝2(a－2)2＋1.②
由①②解得 a＝4，r2＝9，所以圆 C的标准方程为(x－4)2＋y2＝9.
(2)方法一：由(1)知C(4,0)．当直线 l的斜率不存在时，直线 l的方程为 x＝
4，
则|DE|＝2r＝6，所以 S四边形 ODAE＝S△ODE＋S△ADE＝×4×6＋×3×6＝21.
当直线 l的斜率存在时，设其斜率为 k，则直线 l的方程为 y＝k(x－4)，即
kx－y－4k＝0，所以 S四边形 ODAE＝S△ODE＋S△ADE＝×6×＋×6×＝21×<21×＝21.
综上可知，四边形 ODAE 面积的最大值为 21.
方法二：数形结合，DE⊥x 轴时，面积有最大值 21.
20．[证法一] (1)如图，连接
A
1
B
，交
AB
1于点
M
，则
M
为
A
1
B
的中点．连接
DM
.
∵
D
为棱
BC
的中点，∴
DM
∥
A
1
C
.
又
A
1
C
⊄平面
ADB
1，
DM
⊂平面
ADB
1，
∴
A
1
C
∥平面
ADB
1.
(2)在三棱柱
ABC
－
A
1
B
1
C
1中，
侧棱
AA
1⊥底面
ABC
，可得
AD
⊥
BB
1.
∵
D
为棱
BC
的中点，
AB
＝
AC
，∴
AD
⊥
BC
，又
BC
∩
BB
1＝
B
，
∴
AD
⊥平面
BCC
1
B
1，即
AD
⊥
BC
1.在矩形
BCC
1
B
1中，∵
BC
＝
AA
1，
∴＝，＝，又∠
BB
1
C
1＝∠
DBB
1＝90° ，∴△
DBB
1∽△
BB
1
C
1，∴∠
BDB
1＝
∠
B
1
BC
1，∠
BB
1
D
＝∠
B
1
C
1
B
，即∠
B
1
BC
1＋∠
BB
1
D
＝90°.∴
BC
1⊥
DB
1，又
AD
∩
DB
1＝
D
，∴
BC
1⊥平面
ADB
1.
证法二：由题设知，
,,
11
BCADBBCCAD 平面
轴，分别为 zxDADC ,,
建立空间
直角坐标系。设
2),0(
1
AAaaAD 不妨
。求得平面
1
ADB
法向量
0,1,2n
（1）
,0
111
ADBCAnCA 平面且
11
// ADBCA 平面
（2）
1111
,//,2 ADBBCnBCnBC 平面
21.证法一 (1)取
BC
的中点
O
，连接
PO
，∵
PB
＝
PC
，∴
PO
⊥
BC
，又∵平面
PBC
⊥底面
ABCD
，
BC
为交线，
PO
⊂平面
PBC
，
∴
PO
⊥ 底 面
ABCD
∴
PO
⊥BD
,
. 连 接
AO.
取
PA
的中点
M
，连接
DM,BM. 由
BCDRtABORt
易 证
BDAO
,
OAOPO
,∴
POABD 面
,∴
PABPADPADMD
PABMDMBMPAMBMD
BMMDBDaBMaMD
aBDaaCDMDPA
BMDPAPABMPABD
面面面又
面，又
故
则记
面故又
,
,,
,,2,3
,5),0(,
,,,
222
（2）
.
2
3
sin,// BPCABlP 显然作直线过点
证法二：以
BC
的中点
O
为坐标原点，以
BC
所在直线为
x
轴，过点
O
与
AB
平行的直线为
y
轴，O
P
所在直线为
z
轴，建立空间直角坐标系，如图所示．不
妨设
CD
＝1，则
AB
＝
BC
＝2，
PO
＝.
∴
A
(1，－2,0)，
B
(1,0,0)，
D
(－1，－1,0)，
P
(0,0，)．C(-
1,0,0)
为所求。，，且）证得。（）由（
、、、的法向量分别为、面、面面
2
1
,sin0,
2
1
,cos201
)3,2-,1-()1-,0,3()1,0,3(
31313121
321
nnnnnnnn
nnnPADPCDPAB
22．解：
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天水市一中2018级2020-2021学年度第三次考试参考答案（理）一、单选题（每小题5分，共60分）1．B2．C3．B4．C5.C6．A7．D8．B9．C10．D11．A12．D二、填空题（每小题5分，共20分）13．14．-115.813216．①②④三、解答题（第17题10分，第18—22题均为12分，共70分）17．（1）；（2）18．（1）[证明] 由an＋1＝3an＋2n－1，得an＋1＋n＋1＝3(an＋n)．又a1＋1＝2，所以{an＋n}是首项为2，公比为3的等比数列，（2）由（1）得an＋n＝2·3n-1，因此19．[解] (1)可设圆心坐标为C(a,4－a)．设圆C的半...
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