江苏省江阴高级中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学试卷 含解析

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2020-2021 学年度江阴高级中学高二数学期中考试卷 2021.04
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1．已知复数 (为虚数单位)，则 （ ）
A．B．2. C．D．1
2．已知 道试题中有 道代数题和 道几何题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回，在
第 次抽到代数题的条件下，第 次抽到几何题的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．水以匀速注入如右图容器中，试找出与容器对应的水的高度
h
与时间
t
的函数关系图象（　
　）
A．B．
C．D．
4． 的展开式中，系数最大的项是（ ）
A．第 项 B．第 项 C．第 项 D．第 或 项
5．从 1，2，3，4，5这五个数字中任取 3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有 2和3
时，2需排在 3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有（ ）
A．51 个B．54 个C．12 个D．45 个
6．已知函数 有两个不同的零点，则实数 的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
7．《易 系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，
阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，
四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这 个
数中
任取 个数，则这 个数中至少有 个阳数的概率为（ ）
A．B．C． D．
8．已知函数 ， ，若 ， ，则 的最大值
为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求. 全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2分.
9．下列问题中的随机变量服从两点分布的是（ ）
A．抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量 X
B．某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量 X
C．从装有 5个红球，3个白球的袋中取 1个球，令随机变量
D．某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量 X
10．若将正方形 沿对角线 折成直二面角，则下列结论正确的有（ ）
A． 与 所成的角为 45° B． 与 所成的角为 90°
C． 与平面 所成角的正弦值为 D．平面 与平面 所成角的正切值是
11． 的展开式中 x的奇数次幂项的系数之和为 64，则下列结论中正确的是（
）
A．B．展开式中常数项为 3
C．展开式中 的系数为 30 D．展开式中 x的偶数次幂项的系数之和为 64
12．如图，正方体 ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为 a，线段 B1D1上有两个动点 E，F，
且EF a，以下结论正确的有（　　）
A．AC⊥BE
B．点 A到△BEF 的距离为定值
C．三棱锥 A﹣BEF 的体积是正方体 ABCD﹣A1B1C1D1体积的
D．异面直线 AE，BF 所成的角为定值
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．复数 ， 满足 ， ，则 _
_____.
14．某大学选拔新生补充进“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团，据资料统计，新生
通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立，2020 年某新生入学，假设他通过考核选拔进
入该校的“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团的概率依次为概率依次为 m， ，n，已
知三个社团他都能进入的概率为 ，至少进入一个社团的概率为 ，且 m＞n．则 ___
___.
15．若 是正奇数，则 被9除的余数为______.
16．在桌面上有一个正四面体 D—ABC．任意选取和桌面接触的平面的三边的其中一条边，
以此边为轴将正四面体翻转至另一个平面，称为一次操作．
如图，现底面为 ABC，且每次翻转后正四面体均在桌面上，则操作
3次后，平面 ABC 再度与桌面接触的概率为______；操作 n次后，
平面 ABC 再度与桌面接触的概率为______.
四、解答题
17．(本小题满分 10 分)
已知复数：
（1）在①为实数，②为虚数，③为纯虚数，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.
若________，求实数 的取值或范围；
（2）当 在复平面内对应的点位于第三象限时，求 的取值范围.
18．(本小题满分 12 分)已知函数 .
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数 在区间 上的最大值和最小值.
19．(本小题满分 12 分)
幼儿园组织“选妈妈”游戏：有四位妈妈分别躲在四个外观一模一样的花轿里让小朋友们去猜
哪一个花轿里是自已的妈妈.假设各位小朋友都是随机选择，选到每一位妈妈都是等可能的.
（1）已知妮妮的妈妈在某个花轿里，如果给妮妮两次机会单独去玩“选妈妈”游戏，求他选
到自 己妈妈的概率；
（2）如果四位妈妈所对应的四位小朋友一起选择，一人只选一个花轿，而且每个人选的花轿
都不相同，记恰好选到自己妈妈的人数为 ，求 的分布列.
20．(本小题满分 12 分)
如图，在半径为 的半圆形（ 为圆心）铝皮上截取一块矩形材料 ，其中点 、
在直径上，点 、 在圆周上,设 ，矩形 的面积为 .
（1）写出矩形 的面积 关于的函数，问怎样截取才能使截得的矩形 的面积最
大？求出最大面积；
（2）若将所截得的矩形铝皮 卷成一个以 为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和
拼接损耗），应怎样截取，才能使做出的圆柱形罐子体积最大？并求最大体积.
21．(本小题满分 12 分)
如图，四边形 为正方形， 平面 ， ，
C
D
A
B
于点 ， ，交 于点 ．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值．
22．(本小题满分 12 分)
已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若函数 有三个极值点 ， ， （ ），求
的取值范围．
2020-2021 学年度江阴高级中学高二数学期中考试卷答案 2021.04
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1．已知复数 (为虚数单位)，则 （ ）
A．B．2. C．D．1
【答案】A
【详解】因为 ，所以 .故选：A.
2．已知 道试题中有 道代数题和 道几何题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回，在
第 次抽到代数题的条件下，第 次抽到几何题的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设事件 “第 次抽到代数题”，事件 “第 次抽到几何题”，
， ,则 ，
所以在第 次抽到代数题的条件下，第 次抽到几何题的概率为 .故选：C.
3．水以匀速注入如右图容器中，试找出与容器对应的水的高度
h
与时间
t
的函数关系图象（　
）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由于容器上细下粗，所以水以横速注入水，开始阶段高度增加的慢，以后高度增加的
越来越快，因此 与 图象越来越陡峭，原来越大，选 B
4． 的展开式中，系数最大的项是（ ）
A．第 项 B．第 项 C．第 项 D．第 或 项
【答案】C
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