重庆市第八中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题答案

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重庆八中 2024—2025 学年度（上）半期考试高二年级
数 学 试 题 参 考 答 案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
A
C
B
C
D
D
C
A
ABD
AB
ACD
12. 2
13.
14.
2
6
1．A【解析】直线
l
的方向向量是
( 3,1)e=
，故倾斜角
的正切值为
13
tan 3
3
==
；
又
[0 )

，
，则
l
的倾斜角为
6
=
．
2．C【解析】因为
sin cos

=
，所以
tan 1
=
，
所以
2
2 2 2
sin (sin cos ) tan 1 1
sin (sin cos ) 1
1 1 1
tan
sin cos tan
 
   
+ + +
+ = = = =
+ + +
．
3．B【解析】设圆心
(2 )C a a，
，则由所求的圆经过点
( )
13，
和点
( )
40，
得
2 2 2 2
(2 1) ( 3) (2 4)a a a a− + − = − +
，求得
1a=
，可得圆心为
(2 1)，
，故半径为
5
．
4．C【解析】正四棱台的侧面为等腰梯形，又正四棱台的上、下底面的边长为 4，6，高
为
3
，所以侧面梯形的斜高为
( )
2
231h= + =
，
所以棱台的侧面积为
11
4 ( ) 4 (4 6) 2 40
22
S a b h
=  + =  + =
．
5．D【解析】如图，由点
G
是
ABC
的重心，可得
2 1 1 1 2 1
( ) ( )
3 2 3 3 3 3
GB BG BA BC AB AC AB AB AC= − = − + = − − = −
，
结合
GB AB AC

=+
，可得
2
3
=
，
1
3
=−
，所以
1
3

+=
．
6．D【解析】对
A
选项，由
//l
，则
l
与
和
相交或平行或在面内，所以
A
选项错误；
对
B
选项，当
l

=
时，
l
⊥
且
l
且
l
，所以
B
选项错误；
对
C
选项，当
l
时，
l
与
，
可以成任意角，所以
C
选项错误；
对
D
选项，如图，易得
l
⊥
，所以
D
选项正确；
{#{QQABZYCAoggoAAIAAQhCEQXwCkEQkhCAAagGQEAAoAABCQNABAA=}#}
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7．C【解析】易知 B在A监测范围内行驶的总距离为
2
21
2 25 30 40
2

−  =


km，
故B在A监测范围内行驶的总时长为
2
h．
8．A【解析】椭圆
22
22
: 1( 0)
xy
C a b
ab
+ =  
的右顶点
( ,0)Aa
，上顶点
(0, )Bb
，
设
( )
00
M x y，
，由
2MBMA=
可得
( ) ( )
0 0 0 0
2a x y x y b− − = −， ，
，解得
2
33
ab
M


，
，
又由
OP OM
=
，所以
2
33
ab
P




，
，将
P
代入椭圆方程
22
22
1
xy
ab
+=
，
得
2 2
22
2
33
1
ab
ab

  
  
  
+=
，即
22
41
99

+=
，解得
35
5
=
或
( )
35
5
−舍
，所以
35
5
=
．
9．ABD【解析】圆
22
1: ( 1) ( 1) 4C x y+ + + =
，其圆心
1( 1 1)C−−，
，半径
12r=
，
圆
22
2: ( 3) ( 2) 9C x y− + − =
，其圆心
2(3 2)C，
，半径
23r=
，
对于 A，直线
12
CC
的方程为
11
2 1 3 1
yx++
=
++
，即
3 4 1 0xy− − =
，所以 A正确；
对于 B，因为
22
12
| | (3 1) (2 1) 5CC = + + + =
，当
12
||CC
为圆的直径时，该圆面积最小，
面积的最小值为
2
5 25
()
24

=
，所以 B正确．
对于 C，因为
12
| | 5CC =
，且
12
2 3 5rr+ = + =
，可得
1 2 1 2
||C C r r=+
，所以圆
1
C
与圆
2
C
外切，
所以两圆的公切线共有 3条，所以 C错误；
对于 D，当
12
M C C N， ， ，
共线时
MN
取得最大值
1 2 1 2 10C C r r+ + =
，所以
D
正确．
10．AB【解析】对于 A，由题意，
2a=
，
2c=
，故周长为
4 2 2+
，所以 A正确；
对于 B，当点
P
位于上下顶点时，
12
F PF
为直角，所以 B正确．
对于 C，当
1260F PF = 
时，
12
23
2 tan 30 3
F PF
S=  =
，所以 C错误；
对于 D，若
12
F PF△
是以
P
为顶点的等腰三角形，点
P
位于上下顶点；若
12
F PF△
是以
1
F
为顶点的等腰三角形，则
1 1 2 22F P F F==
，此时满足条件的点
P
有两个；同理，若
12
F PF△
是以
2
F
为顶点的等腰三角形，满足条件的点
P
有两个；故 使得
12
F PF△
为等腰三
角形的点
P
共六个，所以
D
错误．
{#{QQABZYCAoggoAAIAAQhCEQXwCkEQkhCAAagGQEAAoAABCQNABAA=}#}
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11．ACD【解析】对于
A
，当平面
PAM ⊥
平面
ABCM
时，四棱锥
P ABCM−
的体积最
大，此时四棱锥
P ABCM−
的高为点
D
到
AM
的距离，直角梯形
ABCM
的面积为
13
()
22
AB CM BC+  =
，四棱锥
P ABCM−
体积的最大值为
1 3 2 2
3 2 2 4
  = ，
所以 A正确；
对于
B
，若
AM PB⊥
，又
AM BM⊥
，则
AM PBM⊥平面
，即
AM PM⊥
，矛盾，所以
B
错误；
对于
C
，由题，
AM OP⊥
，
AM OE⊥
，所以
POE
为二面角
P AM C−−
的平面角，
在
POE
中，
2 2 2
1 2 3
, ,cos
2 2 2 4
OP OE PE
PE OP OE POE OP OE
+−
= = = = =
，所以 C正确；
对于
D
，取
AB
中点
E
，连接
EN
，
NC
，
，则
//EN AP
，
1
2
EN PA=
，
且四边形
AECM
为平行四边形，
//EC AM
，
EC AM=
，所以
NEC PAM
=  =
，
即
，
AP
，
AM
不变，由余弦定理知
CN
定值，所以
D
正确．
12．
2
【解析】将方程
22
40x y y m+ − + =
整理，可得
22
( 2) 4x y m+ − = −
，
则
2
42
2
r m d= − = = =
，解得
2m=
．
13．
3
3
【解析】解：设
2
F
是椭圆
C
的右焦点，连接
2
AF
，
2
BF
，
由对称性可知：
| | | |OA OB=
，
2
| | | |OF OF=
，则四边形
2
FAF B
为平行四边形，
则
2
| | | |AF BF=
，即
2
| | 2 | |AF AF=
，且
23
FAF
=
，
因为
22
| | | | 3 | | 2AF AF AF a+ = =
，则
2
2
||
3
AF a=
，
4
||
3
AF a=
在△
2
FAF
中，由余弦定理可得
2 2 2
2 2 2 2
| | | | | | 2 | | | | cosFF AF AF AF AF FAF= + −  
，
即
2 2 2
4 16 4 1
42
9 9 3 2
2
3
c a a a a= + −   
，解得
2
2
1
3
c
a=
，所以椭圆
C
的离心率为
3
3
c
ea
==
．
14．
2
6
【解析】在正四面体
ABCD
中，
2AD BD==
，
11
42
DM CD==
，
60ADM BDM =  =
，在
,ADM BDM
中，
2 2 2
1 1 1 13
2 cos 4 ( ) 2 2
2 2 2 2
AM BM BD DM BD DM BDM= = + − = + −   =
，
取AB 中点 N，连接
,MN DN
，如图，
,DN AB MN AB⊥⊥
，
{#{QQABZYCAoggoAAIAAQhCEQXwCkEQkhCAAagGQEAAoAABCQNABAA=}#}
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