安徽省黄山市2023届高三下学期第二次质量检测试题 数学答案

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数学答案·第 1 页 （共 6 页）
黄山市 2023 届高中毕业班第二次质量检测
数学参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B C B B C D A
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求.全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分.
题号 9 10 11 12
答案 BC ACD CD ACD
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分.
13. 【答案】
32
14．【答案】
11
20
15. 【答案】
2
16.【答案】
−6
67
四、解答题：本大题共 6小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．
（本小题满分 10 分
解：（1）根据频率分布直方图估计该校全体学生成绩的众数为：65， ……………1分
平均数
x=+++++= 45 .0 5506 .0 6512 4.0 75 .0 8526 1.0 95 .0 6906
…3分
设第 71 百分位数为
x
，则
x=−+++.0 06 .0 12 (4.0 70 .0026.0) 71
，
x=75
…………………5分
（2）根据频率分布直方图,
 +  + =x
3000 3000 3000 6960 63
800 1000 1200
3
，
x=380
……………………………7分
高中三个年级的总体样本方差为
140
，
又
  
 − + + − + + − + =
   s300030003000 (80 69) 55 140(60 69) 75 (63 69) 12001000800 222 22
，
s=2
248
……………………………………………………………………10 分
18.（本小题满分 12 分）
解：（1）∵
+ − =b c a ab C
3sin
23
2 2 2
，
∴
=== +−
bc bc
AA
b c a ab C
2 32 sincos 33
sin
23
2 2 2
，即
=Atan 3
，
数学答案·第 2 页 （共 6 页）
A0,
( )
，∴
=
A3
； ……………………………………………………………2分
又
==bc3, 6
，
∴
= + − =a b c bc A2 cos 27
2 2 2
，
∴
=a33
，又
==bc3, 6
，∴
=
C2
， ………………………………………3分
由
=PB PC
∵
==CP CB
22
1 3 3
，
=CQ 2
3
，∴
，==AP BQ
22
7
3 3 13
，
= − = − = − =
AP APBAPB APC PC
77
,sincos cos 2 721
，
 =  =QBCQBC 1313 ,cossin 2 3913
……………………………4分
∴
= +  = −
B BM QBC APA QBC APB QBC APBcos cos sin sincos cos
)(



= − − = −

13 7 13 7 91
2 39 21 13 2 7 8 91
………………6分
（2）
记],设= =  = =
 
APC QPCx xPC , (0,3 3 APQ , ,
+
= − = −

  
1 tan tan
tan tan( ) tan tan
……………………………………………8分
+  +
= =  =
−
x
x x x x
x
xx
222
12 94
3 3 9
23 3 2
33
……………………………………10 分
.当且仅当 ，即 取等号==
x
xx
2
29 3 2
……………………………………11 分
当
=x0
时，不符合题意. ……………………………………12 分
19.（本小题满分 12 分）
解：因为
=ABC 900
，
AD BC//
，且
= = =AD AB BC
22
1
，取
BC
边的中点
M
，连
结
DM
，则
==DM MC 2
，且
⊥DM MC
，
所以
=DC 2 +2 =2 2
22
.又
PDC
是
DPC
为直角的
等腰直角三角形，所以
==DP CP 2
.
过点
P
作
⊥PN CD
的交
CD
于
N
点，则
N
为
CD
的中点，
且
=PN 2
.因为
平面 平面⊥PCD ABCD
，且交于
CD
，
所以
平面⊥PN ABCD
.故以
，AB AD
所在的直线分别为
可知 P为中点，
数学答案·第 3 页 （共 6 页）
轴， 轴xy
，过点
A
作垂直于平面
ABCD
的为
z
轴,建立空间直角坐标系如图所示.
则
（ ），AB0,0,0 (2,0,0) ,
DC(0,2,0), (2,4,0),P(1,3, 2)
，
而
E
为棱
PC
的中点，所以
（ ，， ）E2 2 2
3 7 2
，又点
F
在棱
PD
上，且
=PF FD2
.
故
F3 3 3
( , , )
1 7 2
………………………………………………………………………3分
（1）证明：
=== ABAEAF 3 3 3 2 2 2
( , , ) , ( , , ) , (2,0,0)
1 7 2 3 7 2
，令
=+

AE AB AF
则
（ ，， ） （ ） （ ，， ）

3 3 32 2 2 = 2,0,0 + 1 7 23 7 2
，解得
，

22
==
13
，故
=+AE AB AF
22
13
，则向量
AB AE AF,,
共面，且向量
AB AE AF,,
有公共点
A
，
所以
、 、 、A B E F
四点共面。 ………………………………………………6分
（2）因为
= −== − BABCBP ( 1,3, 2) , (0,4,0) , ( 2,0,0)
，
令平面
PAB
的一个法向量为
r
=n x y z( , , )
1 1 1
，
则
=
=
BA n
BP n
0
0
即
−=
− + + =
x
x y z
20
3 2 0
1
1 1 1
，所以可以取
=−n2
(0,1, )
32
……8
分
令平面
PBC
的一个法向量为
ur
=m x y z( , , )
2 2 2
，
则
=
=
BC m
BP m
0
0
即
=
− + + =
y
x y z
40
3 2 0
2
2 2 2
，所以可以取
=m2
(1,0, )
2
……10 分
于是
++
==  = =
nm
nm nm
22
11
19
11
cos cos , 233
3
………………12 分
20. （本小题满分 12 分）
解：（1）由题意，可设
G5
商用初期，该区域市场中采用
A
公司与
B
公司技术的智能终端产
品的占比分别为
==a20
55% 11
0
，
==b20
45% 9
0
．
易知经过
n
次技术更新后
+=ab
nn
1
，
则
= − + = +
+b a bb n n nn 4 20
(1 20%) 5% 31
1
，则
= +
+
b b n N
nn
4 20 ()
31
1
…………2分
由 式，可设
− = − = +
++

b b b b
n nnn 4 44 ()
33
11
，对比 式可知
=  =
4 20 5
11
．
……………………………………………………………………………………………4分
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