安徽省淮南市2022-2023学年高三上学期第一次模拟考试数学试题答案

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淮南市 2023 届高三第一次模拟考试数学试卷答案
一、单选题 CBCD ADAB
二、多选题 BD； ABD； ACD； ABC；
三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.将答案填写在题中的横线上.）
13.
3
5
14.
24
2 3 9 0; 13
 x y
15. 4
16.
[ 6, 2 2]
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17.【解析】(1)选条件①：(a－b)(sin A＋sin B)＝(c－b)sin (A+B)；
由正弦定理可得，(a－b)(a＋b)＝(c－b)c，（1分）
即b2＋c2－a2＝bc，cos A＝b2＋c2－a2
2bc =1
2，（2分）
又
(0, )A
，A＝π
3.（4分）
选条件②：
2 2 2
3 - 2 sin（ ） b c a ac B
由余弦定理可得：
2 3 cos 2 sinbc A ac B
，即
3 cos sinb A a B
，（1分）
由正弦定理可得，
3 sin cos sin sin sin 0， B A A B B
，（2分）
所以
，又
(0, )A
，A＝π
3. （4分）
(2) 由（1）知，A＝
π
3
，△ABC的面积为2
3
，
1sin 2 3, 8
2 3
bc bc
 得
（5分）
由平面向量可知，
2 2 2
2
1 1 1 2
2 4 4
AD AB AC AD AB AC AB AC AB AC   
   
（ ）， （ ） （ ）
（6分）
2 2 2 2
1 1 1 3
2 cos 2 6
4 3 4 4 4
b c bc b c bc bc bc bc
    （ ） （ ） （ ）
，（8分）
当且仅当
2 2b c 
时取等号故
BC
边中线
AD
的最小值为
6
（10分）
18.【解析】（1）由题意知，一件产品的质量指标值位于区间
 
111,117
的概率即为 P（μ+σ
＜
X
＜
μ+2σ）（2
分）
因为 P（μ-σ
＜
X
＜
μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ
＜
X
＜
μ+2σ）=0.9544
所以 P（μ+σ
＜
X
＜
μ+2σ）=
1
（0.9544 - 0.6826） 0.1359
2
（5分）
所以
(100,0.1359)X B
，故
100 0.1359 13.59  EX
.（7分）
（2）
X
服从正态分布 N（105，36），由于 P（μ-3σ
＜
X
＜
μ+3σ）=0.9974，
所以内径在（87，123）之外的概率为 0.0026，为小概率事件而 86∉（87，123）.（10 分）
根据 3σ原则，机器异常，需要进一步调试．（12 分）
19.【解析】（1）由
),( *
Nnmaaa nmnm
知，
，
nn aaa
11
即
，1- 11
aaa nn
（2分）
从而
 
n
a
是等差数列，且公差为
1 1
( 1)1，故   
n
a a n a n
，（5分）
（2）
1
2 1 2 1 1 1
-1 = -1 -1 ( )
( 1) 1
n n
n
n
n n
n n
a a n n n n
b
 
 
 
（ ） （ ） （ ）由
，（7分）
数列
 
n
b
的前
2n
项和
2
1 1 1 1 1 1 1 1
=-1- + + - - +...+ 1
2 2 3 3 4 2 2 1 2 1
 
 
n
Tn n n
，（10分）
又因为
1
{ 1 }
2 1
  n
在
*
n N
上单调递减，所以
1 2
1 1 2 1 3
   
n
，
故
2
2
13
 
n
T
.（12分）
20. 【解析】（1）证明：取 AC 的中点为 E，连结 SE
，
BE
，∵
AB=BC
，∴
BE⊥AC，（1分）
在
△
SCB 和
△
SAB 中，
∠
SAB=
∠
SCB=90°
，
AB=BC
，
SB=SB
，
∴
△
SCB
≌△
SAB
，
∴SA=SC，（2分）
∵AC 的中点为 E,∴SE⊥AC，（3分） ∵SE∩BE=E， ∴AC⊥面 SBE，
∵SB
面SBE，∴
SBAC
（5 分）
（2）解：过 S作SD⊥面 ABC，垂足为 D，连接 AD
，
CD
，
∴SD⊥AB
∵AB⊥SA
，
AB⊥SD
，
SA∩AD=A
，
AB⊥面 SAD
∴
AB⊥AD 同理，BC⊥CD
∵底面
ABC
为等腰直角三角形，
222 SCAB ，
∴四边形 ABCD 为正方形且边长为 2. （7分）
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