安徽省合肥市庐巢八校联考2022-2023学年高一下学期5月期中数学试题答案

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一、选择题（每小题 5 分，共 8 小题 40 分）
1. 设
⃗
a
,
⃗
b
是两个不共线的平面向量,已知
⃗
m=
⃗
a− 2
⃗
b
,
⃗
n=3
⃗
a+k
⃗
b(k ∈R)
,若
⃗
m/¿
⃗
n
,则
k =¿
( )
A.
2
B.
C.
6
D.
− 6
【答案】D
【解析】因为
⃗
m/¿
⃗
n
,故
⃗
m=λ
⃗
n , λ ∈R
,故
⃗
a − 2
⃗
b=λ
(
3
⃗
a+k
⃗
b
)
=3λ
⃗
a+λk
⃗
b
,因为
⃗
a
,
⃗
b
是两个
不共线的平面向量,故
{
1=3λ
− 2=λk
,解得
{
λ=1
3
k =− 6
.
故选:D.
2. 若复数
z
满足
z(− 1+2i)=∨1+3i∨¿
(
i
为虚数单位),则复数
z
在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】
¿1+3i∨=
❑
√
1+9=
❑
√
10
,所以
z =❑
√
10
− 1+2i=
❑
√
10(− 1− 2i)
(− 1+2i)(− 1− 2i)=−❑
√
10 − 2❑
√
10 i
1+4=−
❑
√
10
5−2❑
√
10 i
5
,
故复数
z
在复平面内对应的点为
(−
❑
√
10
5, − 2❑
√
10
5)
,位于第三象限.
故选:C.
3. 如图,在
ΔABC
中,
¿1
3
,
P
是
BN
上的一点,若
¿m +2
11
,则实数
m
的值为( )
A.
9
11
B.
5
11
C.
3
11
D.
2
11
【答案】C
【解析】由
⃗
AN =1
3
⃗
NC
,可得
⃗
AC=4
⃗
AN
,所以
¿m +2
11 =m +8
11
,
又
B , P , N
三点共线,由三点共线定理,可得:
m +8
11 =1
,
∴m =3
11
,故选 C.
4. 一平面四边形
OABC
的直观图
O ' A ' B ' C '
如图所示,其中
O ' C ' ⊥x '
,
A ' B' ⊥x '
,
B' C '/¿y '
,
则四边形
OABC
的面积为( )
A.
3❑
√
2
2
B.
3❑
√
2
C.
3
D.
3
2
【答案】B
【解析】
∠x ' O ' y ' =45∘
,
O ' C ' =O ' A ' =1
,∴
A ' B' =2
,
∴四边形面积
SO ' A' B' C '=1
2(1+2)×1=3
2
,
SO' A ' B ' C'
SOABC
=
3
2
SOABC
=
❑
√
2
4
,得
SOABC =3❑
√
2
.
5. 设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，有下列四个命题：
① 若 则 ；
② 若 则 ；
③ 若 则 ；
④ 若 则 .其中正确命题的序号是（ ）
A. ③④ B. ①② C. ①④ D. ②③
【答案】D
【解析】① 没有说明直线 垂直 的交线，故不正确；②两个平面平行的性质，故正确；③若
则 ， ，一条直线垂直两个平行平面中的一个，也垂直另一个平面，故 ，
故正确；④ 不能得到 ，故直线 与平面 的关系也不确定，故不正确.
6. 在
ΔABC
中,角
A
,
B
,
C
的对边分别为
a
,
b
,
c
,
a2+c2=b2+ac
,则
cosA +cosC
的最大值为( )
A.
1
B.
2
C.
❑
√
2
D.
❑
√
3
【答案】A
【解析】角
A
,
B
,
C
的对边分别为
a
,
b
,
c
,
a2+c2=b2+ac
,即
a2+c2−b2=ac
,
根据余弦定理
cosB =a2+c2−b2
2ac =1
2
,故角
B =π
3
.
A +C =2
3π
,
cosA +cos(2
3π − A)=1
2cosA +❑
√
3
2sinA =sin (A +π
6)
,因为
A ∈(0,2
3π)
,∴
A +π
6
∈(π
6,5
6π)
,
∴
1
2<sin (A +π
6)⩽1
.
7. 三棱锥 P-ABC 的三条侧棱 PA、PB、PC 两两互相垂直，且长度分别为 3、4、5，则三棱锥 P-ABC 外
接球的体积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：由 PA、PB、PC 两两互相垂直为一个顶点出发的长方体的对角线长为
.所以三棱锥 P-ABC 外接球的半径为 .所以体积为
.故选 C.
8. 如图, 为平行四边形 所在平面外一点, 为 的中点, 为 上一点,当 平面
时, ( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】连接 交 于 ,连接 ,
平面 , 平面
平面 平面
BEF =FG
,
,
故: ①
又 , 为 的中点,
②
由①②可得:
故选:D.
二、多选题（每小题 5 分，共 4 小题 20 分）
9. 已知向量
⃗
a=
(
2,1
)
,
⃗
b=
(
− 3,1
)
,则( )
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