安徽省芜湖市2023届高三下学期二模试题 数学答案Print

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数学试题参考答案第 页（共 5页）
2023 届芜湖市高中毕业班教学质量统测
数学试题参考答案
选择题
一、选择题：
1
C
2
C
3
B
4
D
5
D
6
B
7
B
8
A
二、选择题：
9
ABD
10
AD
11
ABD
12
ABD
非选择题
三、填空题：
13. 3
514. 173.5 15. 3 - 1或6
316. 6
四、解答题：
17. 证明：
（1）
∵E,F分别为 PD,PC 的中点
∴EF//CD且EF =1
2CD
∵  
PM = 2  
MA , 
PN = 2  
NB
∴MN//AB且MN =2
3AB
∵AB//CD且AB =CD
∴EF//MN且EF ≠MN
∴四边形EMNF为梯形
∴直线ME与直线NF相交 …………………………………………………………………… （4分）
（2）
∵PA ⊥平面ABCD 且ABCD 为正方形
∴以A为原点，AB，AD，AP 所在直线分别为 x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系 .
则M( 0, 0, 2 ), N( 4, 0, 2 ), F( 3, 3, 3 )
∴  
MN = ( 4, 0, 0 ),  
MF = ( 3, 3, 1)
设平面 NME 的法向量为 m= ( x0,y0,z0)，则
{
m⋅  
MN = 0
m⋅  
MF = 0⇒
{
4x0= 0
3x0+ 3y0+z0= 0
令y0= 1，得 m= ( 0, 1, -3 )
1
数学试题参考答案第 页（共 5页）
记平面 ABCD 的法向量为 n，则 n= ( 0, 0, 1) ………………………………………………… （8分）
∴ cos < m,n>= m⋅n
||
m
||
n= - 3 10
10
∴平面 NMF 与平面 ABCD 夹角的余弦值为 3 10
10 .……………………………………… （10 分）
（（几何法求解几何法求解，，酌情给分酌情给分））
18.
（1）
∵f(x)≤|
|
|
|
|
|
f( - π
6)
∴é
ë
ê
ù
û
ú
f( - π
6)
2
=a2+ 1得(a+ 3 )2= 0
∴a= - 3 …………………………………………………………………………………… （5分）
（2）f(x) = - 3 sin2x+ cos2x= -2sin ( 2x-π
6)
选①
（1）当 f(x)同为最大值或最小值时，得 SΔABC =1
2A·kT ≥1
2A·T =1
2×2×π=π……… （9分）
（2）当 f(x)一个为最大值，另一个为最小值时，
得S△ABC =1
2·2A·k T
2≥1
2A·T =1
2× 2 × π=π
综上：
△ABC 面积的最小值为 π…………………………………………………………… （12 分）
选②
由复数的几何意义知：
A( -2, -4 )，
B( -2, f(t) )
∴S△OAB =1
2× 2 × |AB| =|AB| =|f (t) + 4|= -2sin ( 2x-π
6) + 4 …………………………… （9分）
∴S△OAB ∈ [ 2, 6 ] ……………………………………………………………………………… （12 分）
19.
（1）由题意可得，中奖人数 X服从二项分布：X~B ( 3, 1
3)
∵P(x=i) = Ci
3(1
3)i(2
3)3 - i
（i= 0, 1, 2, 3
）
∴P(x= 0 ) = 8
27 ,P(x= 1) = 12
27 ,P(x= 2 ) = 6
27 ,P(x= 3 ) = 1
27
∴分布列为
X
P
0
8
27
1
12
27
2
6
27
3
1
27
∴中奖人数 X的方差为 D(x) = 3 × 1
3×2
3=2
3…………………………………………… （4分）
（2）若改变选择，由题意可知获得奖金数记为 Y,则Y的可能值为 0，400
2
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