安徽省皖南八校2023届高三三模数学试卷 含解析

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2023 届“皖南八校”高三第三次大联考
数学
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求．
1. 已知集合 ， ，则集合 的非空真子集的个数为（ ）
A. 14 B. 15 C. 30 D. 62
【答案】D
【解析】
【分析】解集合 A中的不等式，得到集合 A，由集合 B中元素的条件得到集合 B，再求集合 ，由集
合中元素的个数，判断非空真子集的个数.
【详解】不等式 解得 ，由 ，得集合 ，
则集合 ，所以集合 ，
集合 中有 6 个元素，所以集合 的非空真子集的个数为 ．
故选：D．
2. 已知复数 满足 （i为虚数单位），则复数 在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A
.
第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的除法、模长运算化简复数 ，再结合复数的几何意义即可得答案.
【详解】由 得 ，
∴复数 z在复平面内对应的点为 ，
∴复数 z在复平面内对应的点所在的象限为第四象限．
故选：D．
3. 给出下列四个命题，其中正确命题为（ ）
A. “ ，”的否定是“，”
B. “ ”是“ ”的必要不充分条件
C. ， ，使得
D. “ ”是“ ”的充分不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】利用全称量词命题的否定判断 A；利用充分条件、必要条件的定义判断 BD；判断存在量词命题
的真假判断 C作答.
【详解】对于 A，“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，该命题的否定为
， ，A错误；
对于 B，“若 ，则 ”是假命题，如 ，而 ，B错误；
对于 C，取 ，则 ，C正确；
对于 D，因为函数 是 R上的增函数，则“ ”是“ ”的充要条件，D错误．
故选：C
4. 如图，用 ， ， 三类不同的元件连接成一个系统，当 正常工作且 ， 至少有一个正常工作
时，系统正常工作，已知 ， ， 正常工作的概率依次是 ， ， ，已知在系统正常工作的前提下，
则只有 和 正常工作的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用独立事件的乘法公式求得系统正常工作和只有 M和 正常工作的概率，再利用条件概率公
式求解即可.
【详解】设事件 A为系统正常工作，事件 B为只有 M和 正常工作，
因为并联元件 、 能正常工作的概率为 ，
所以 ，又 ，
所以 ．
即只有 M和 正常工作的概率为 .
故选：C．
5. 勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作
一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知 ，P
为弧 AC 上的一点，且 ，则 的值为（ ）
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