安徽省皖江名校2023届高三上学期12月第四次联考数学试卷答案（PDF版）

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1 / 6
数学参考答案
题
号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答
案
B
D
C
A
A
D
C
B
AD
BC
AB
BCD
一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.【答案】B【解析】
，所以
{1,2}MN
，2个元素的集合有 4个子集。
2.【答案】D【解析】设
2
42
ai
ki
i
，则
2 4 2a i ki k 
，所以
1,1
2
ka   
。
3.【答案】C【解析】
287 328
78
NN  
.可以估计德军每月生产的坦克数大约是 328.
4.【答案】A【解析】
3
6 5 6sin 5sin 10sin cos cos 5
b c B C B B B 
，所以
2
37
cos 2 ( ) 1
5 25
C  
5.【答案】A【解析】可设
ABCO
是正四面体的 4个顶点。则点
A
在平面
OBC
的射影是正三角形
OBC
的中心
D
。设
1OB
可得
23
1 sin
3 3 3
OD
 
，高
22 16
133
AD OA OD  
,
tan 2
AD
OD

.
6. 【答案】D【解析】
2222
1 1 1 1 5
23
2 2 2 2 2
AO BC AO AC AO AB AC AB  
.
7.【答案】C【解析】由题设可得
1 3 5
1 1 1
,,
2 4 8
b b b
是等比数列也是等差数列，所以是常数列，即
1 3 5
1 1 1
2 4 8
b b b
，
所以
22q
，因此
22
6 10 8
22
77
2
b b b q
bb
 
8.【答案】B【解析】由题设
( ) ( 2) ( 2) ( 4) 2f x f x f x f x    
，所以函数
()fx
是周期为
4
的函数，由
(0) 0f
得
(2) 2f
.因为
( 2)fx
是偶函数，可得
( 3) ( 1)ff 
，由周期性可得
(1) (3)ff
，又
(1) (3) 2ff
，故
1(1) (3)ff
，所以
(1) (2) (3) (4) 4f f f f  
，
2020
1
( ) 2020
i
fi
.
(2021) (1) 1, (2022) (2) 2f f f f 
，所以
1
( ) 2023
n
i
fi
时，
2022n
，选 B。
二、选择题：本大题共 4小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合要求的．
9.【答案】AD【解析】
ab
可以得到
0ab
，由
x
ye
单调递增知
ab
ee
，选项 AD 正确。令
1, 1ab  
排
除BC 选项。
10. 【答案】BC【解析】当
0
时，
( ,4 ]
6 6 6
x
 

 
，所以
55
4
6 6 2
 
 
，得
7
6 12


，
当
0
时，
[4 , )
6 6 6
x
 

 
，所以
57
4
2 6 6
 
 
，得
2
33

 
，选项 BC 是范围内的
整数。
11. 【答案】AB【解析】异面直线
1
CP
与
1
CB
垂直，选项 A正确。三棱锥
1
D BPC
以
1
BDC
为底面，因为
11
//AD BDC平面
,所以点
P
到平面
1
BDC
的距离时定值，故三棱锥
1
D BPC
的体积是定值，选项 B正确。
2 / 6
点C在平面
11
ABC D
的投影是定点（
1
BC
与
1
BC
的交点），线段
CP
长度显然随位
置变化而变化，故直线
CP
和平面
11
ABC D
所成的角的正弦在变化，角的大小不
是定值，选项 C错误。以 D点为原点建坐标系，
11, 11CA （ ，）
，点 P坐标取
21
( ,0, )
33
，点 Q坐标取
110
33
（ ，，）
时，
1 1 1
( , , )
3 3 3
PQ  
,
1
//PQ AC
成立，选项
D错误
12. 【 答 案 】 BCD 【 解 析 】 易见
,ab
都小于
0.01
，
,cd
都 大 于
0.01
。令
( ) ln 1 ) 1 cosf x x x  （
，则
''
1
(0) 0, ( ) sin (0) 1
1
f f x x f
x
 
，
，
'()fx
是减函数，
'1
( ) sin 0
66
16
f

 
，所以在
(0, )
6
上
'( ) 0fx
，
(0.01) ln1.01 1 cos0.01 (0) 0a b f f    
，所以
ab
。再令
cos cos sin
( ) 1 tan cos
x
xe x x x
g x e x x

 
，设
( ) cos cos sin , (0) 0
x
h x e x x x h  
得
'( ) (cos sin ) sin cos (cos sin )( 1) 0
xx
h x e x x x x x x e  
，在区间
04
（ ， ）
上成立，
()hx
在
04
（ ， ）
上
单调递增，
(0.01) (0) 0hh
，所以
(0.01)
(0.01) 0
cos0.01
h
d c g 
，
dc
。因此 4个数的大小关系是
b a c d  
，所以选项 A错误，选项 BCD 都是正确的。
三、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分.
13.【答案】
1209
【解析】新数列为
3,18,33, ,183
，共
13
项，
13 (3 183) 13 1209
2
S
 
。
14.【答案】
( 1,3)
【解析】当
1x
时，方程
ln 1 2 0x 
有一个根
xe
。在
1x
时方程
22 2 0x x a   
必须有 2个不同的实根。即
2
( 1) 3xa  
有2个小于 1的根。结合二次函数图像，
0 3 4a 
，得
13a 
.
15.【答案】
112
【解析】不妨设样本由男生 2人和女生 3人组成。由题设
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
11
( ) 80, [( 2 80 ] 10 160 2 80 10
22
x x x x x x x x   ） ， （ ）=12820
；
2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
11
( ) 60, [( ) 3 60 ] 20
33
y y y y y y  
2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
180 3 60 20y y y y y y  ， （ ）=10860
所以样本的平均分
1(160 180) 68
5
x  
，样本的方差
22
1[ 12820 10860 5 68 ] 112
5
s   （ ）
。
16. 【答案】
24 3
【解析】依据四面体
D ABC
的顶点构建直三棱柱
ABF ECD
,设
,GH
分别为
,CDE ABF
的外心,连接
GH
并取中点
O
,则中点
O
就是四面体
D ABC
和
直三棱柱
ABF ECD
的外接球的球心。由题设可得
1
5, 3,
2
OF OH BC  
所以
ABF
的外接圆半径
4r FH
.注意到
/ / , 3
CD BF ABE

.由正弦
3 / 6
定理可得
2 sin 4 3
3
AF r

。因为
1
3
D ABC F ABC C ABF ABF
V V V S BC
 
 
,只需求出
ABF
的面积的最大
值即可。在
ABF
中，由余弦定理
2 2 2
2 cos 48
3
AB BF AB BF AF
 
,结合基本不等式可得
48 2AB BF AB BF AB BF    
,所以
1 1 3
sin 48 12 3
2 3 2 2
ABF
S AB BF
 
。
所以
112 3 6 24 3
3
A BCD
V  
.
四、解答题：本大题共 6个小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 【解析】
（1）由图知
53
2, ,
8 8 4
A T T

 
，所以
22
T

。
令
8
x

，得
sin( ) 0
4
 
，结合
π
2
得
4
，
所以
( ) 2 sin(2 )
4
f x x

。 …………………………3分
令
3
2 2 2 ( )
2 4 2
k x k k Z
 

   
，得
5
88
k x k


 
，
所以
()fx
的单调递减区间是
5
[ , ]( )
88
k k k Z


  
； …………………………5分
（2）当
[ , ]
44
x


，
3
2 [ , ]
4 4 4
x
 
 
，
()fx
取值从
1
单调递增到
2
，再单调递减到
1
。
函数
( ) ( )g x f x m
在区间上有 2个不同的零点，则
[1, 2)m
，…………………………8分
且
12
,xx
关于
8
x
对称，所以
12 2
cos( ) cos(2 )
82
xx
 
。 …………………………10 分
18. 【解析】（1）由题设
11
1()
3
n n n n
a b a b

 
， …………………………2分
11
10
3
ab  
，得
11
1
3
nn
nn
ab
ab

…………………………4分
所以数列
{}
nn
ab
是以
1
3
首项，公比等于
1
3
的等比数列。 …………………………5分
（2）由题设及（1）可得
1
1
3
nn
nn n
ab
ab


，所以
11
(1 )
23
nn
a
， …………………………7分
11
2 1 3
23
n n n n n
c a b a   （ ）
， …………………………9分
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