安徽省皖江名校2023-2024学年高二上学期开学联考数学答案和解析

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数学参考答案

题

号 1 2

3 4 5 6 7

8 9 10 11 12

答

案 D C

C B A B A

C AB ACD

AD ACD

1.【解析】由2

{ | 2 8 0} { | 2 4}, { 3, 2,0,2,3}

M x x x x x N           ，得

M N





{0, 2,3}

2.【解析】由复数

( 1) ( 1)i( R)

z m m m

    

为纯虚数，可得复数

 

，所以复数

(3 i) i(3 i) 1 3i

      

，所以在复平面内对应的点为

( 1, 3)

 

，在第三象限，故选 C.

3.【解析】由题意可得

( 2, 2)



   

a b ，因为

( ) / /



a b b

，所以

4( 2) 4



  

，解得





，故选 C.

4.【解析】由题意可得

tan 2





，所以原式=

3 3 3

sin cos tan 1 8 1 3

sin 2cos tan 2 8 2 2

  

  

  

   ，故选 B.

5.A 【解析】由题意可得正方体卡片纸盒如图所示，则易知

CM EF



，

/ /

CM AB

，

与

，

的夹角均为



，故选 A.

6. 【解析】由题意估计高一高二日阅读时间的平均数为

40 60

50 40 44

100 100

    

，

方差为

2 2 2

40 60

[4 (50 44) ] [6 (40 44) ] 29.2

100 100

s        

，故选 B.

7.【解析】由

ln 4

1 log

ln 5

c 

，得 5 5

log (5 ) log 4

c，即

5 4



，即



5 5 4

5 5

4 4 4 4 4

log 3 log 3 log 243 log 256 log 4

     

，

5 55 4

5 5

7 7 7 7 7

log 5 log 5 log 3125 log 2401 log 7

     

，综上可知

a c b

 

，故选 A.

8.【解析】因为 ,

| | | |

AB AC

 

分别是向量

AB AC

 

的单位向量，所以由

( )( 0)

| | | |

AB AC

AQ AB AC

 

  

 



  ，易

知

是

ABC



中角

平分线，于是结合

ABC ABQ BCQ

S S S

  

 

，

4 3

AQ 

可得，

1 1 1

sin 60 4 3 sin 30 4 3 sin 30

2 2 2

bc c b

  

    ，化简得

4( )

bc b c

 

，故

1 1 1

b c

 

，

所以

1 1 16

16 4( 16 ) ( ) 4(17 ) 100

b c

b c b c

b c c b

        

，当且仅当

20, 5

b c

 

时等号成立，故选 C.

9.【解析】A 选项中的极差为 2.8-0.1=2.7（%），故 A 正确；B 选项中的数据由小到大排列为 0.1%,0.2%，

0.7%，1.0%,2.1%,由 i=5×75%=3.75，不是整数，所以 75%分位数为第 4 个数 1.0%，故 B 正确；C 选项中 2

月至 4 月均为负数，说明下降，故 C 错误；D选项等价于从 5个数字中随机选取 2个，样本空间包含的样

本点总数为 10，其中随机事件“选到 4月和 5月”包含的样本点数为 1，古典概型概率计算公式可得所求

{#{QQABLYYUggggABAAABgCQQWCCgOQkAECAIgORBAIIAABSQNABAA=}#}

第 2 页共 6 页

概率为



，故 D错误.综上，选 AB.

10. 【解析】由题意知

BC x

,所以

( )

f x

的图像的一条对称轴方程为

2 3

2 12

 





  ,

7 1 2

12 3 4 4

   



   

,所以





.由于函数





f x

图像过

( ,0)

，由

2 2



  

   

k Z



,且





 

,得







,所以

( ) sin(2 )

f x x



 

，故 A正确，B错误；

( )

f x

的图象向右平移



个单位长度

得到

( ) sin(2 ) sin 2

3 3

g x x x

 

   

，是奇函数，故 C正确；

( )

f x

的图象向左平移



个单位长度得到

( ) sin(2 ) cos 2

6 3

h x x x

 

   

，是偶函数，故 D正确.故选 ACD.

11.【解析】连接

，

4 , / /

AD BC AD BC



，所以

DP BP



，又因为

DQ QS



，所以

/ /

PQ SB

，

故A正确；过

作

/ /

QM AD

交

于点

，由

DQ QS



，可得

1 4

5 5

QM AD BC

 

，所以四边形

BCQM

是梯形，

与

的延长线必定相交，故

与平面

SAB

必定相交，故 B错误；设直四棱锥

S ABCD



的高为

，底面梯形

ABCD

的高为

，则易得三棱锥

S ABC



和三棱锥

Q ACD



的高分别为

H H

，所以 1

1 1

1 5

3 2

1 1 4 4

3 2 5 5

BC h H

VAD h H

   

  

    

所以 C错误，D正确.综上，选 AD.

12.【解析】因为

2sin 63 sin 64 2 sin(45 18 ) 2 sin(45 19 )

cos18 cos19 cos18 cos19

     

   

  

  

sin18 cos18 sin18 cos18

(1 tan18 )(1 tan19 )

cos18 cos19

   

 

 

    ，所以 A正确；由正切函数在

(0, )



上恒为正

且单调递增得 (1 tan18 )(1 tan19 ) (1 tan 26 )(1 tan 27 )

x y

   

      

，所以 B错误；注意到

tan18 tan 27

1 tan(18 27 )

1 tan18 tan 27

 



   ，所以

tan18 tan 27 tan18 tan 27 1

   

  

，同理

tan19 tan 26 tan19 tan 26 1

   

  

，于是

(1 tan18 )(1 tan 27 ) (1 tan19 )(1 tan 26 )

xy    

      

(1 tan18 tan 27 tan18 tan 27 )(1 tan19 tan 26 tan19

tan 26 ) 2 2 4

       

        

，故 C正确；由基

本不等式可得

2 4

x y xy

  

，故 D正确.综上，选 ACD.

13.【答案】

【解析】

i i(4 3i) 3 4i

4 3i (4 3i)(4 3i) 25

  

  

  

，所以

| |



{#{QQABLYYUggggABAAABgCQQWCCgOQkAECAIgORBAIIAABSQNABAA=}#}

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14. 【答案】 112 【解析】由题意可知正四棱台的高为 2 2

5 3 4

 

，所以该四棱台的体积为

2 2 2 2

(2 8 2 8 ) 4 112

     

15. 【答案】 40 【解析】由题意知，

60 , 30 , 120

ADB BCA DAC

  

      , 设

DA x



，则

3 , 3

AB x AC x

 

，在

ABC



，由余弦定理可得 2 2 2

40 39 1

( ) (3 ) 2 3 ( )

3 2

x x x x

      

，解得

40 3

x，所以

3 40

AB x

 

（米）.

16.【答案】

，

128

【解析】在

( ) ( )

3 2

f f x



中，分别令



，得

(0) 0



，在

(1 ) 1 ( )

f x f x

  

中，

令

x x

 

，得

1 2

(1) 1, ( ) ( ) 1

3 3

f f f

  

.又令



，得

1 1 1

( ) (1)

3 2 2

f f

 

，所以

1 1 1

( ) ( )

3 2 2

f f

 

，

结合对于 1 2

0 1

x x

  

，都有

1 2

( ) ( )

f x f x

，可得当

1 1

[ , ]

3 2

x

时，康托尔函数

( )

f x



，反复利用

( ) ( )

3 2

f f x



，可得

3 3

1 1 3 1 1 3

2023 2023

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2023 3 2 2023 2 3 4 2023

f f f f f

    

3 4

3 4 5 6

3 3

1 1 3 1 1 3 1 3 1 3

2023 2023

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

4 3 8 2023 8 2 16 2023 32 2023 64 2023

f f f f f f     

，注意到

6 6 6 6 6

6 6

1 3 3 3 3 2 3 2

3 3 3 729 3 2023 3 3 3

729



     

  



，所以

1 1 1 1

( )

2023 64 2 128

f  

，故第二空填

128

（注：第一空 2分，第二空 3分）

17.【解析】（1）因为

(2 )( ) 3

   

a b a b ，所以 2 2

2 3

    

a a b b ，

又

| | 1,| | 2

 

a b ，所以

 

a b ， ························ 2 分

因为 2 2 2 2 2

2 1 2 1 2 3

        

| a b | a a b + b ，

所以

| a b |=

. ·························· 5 分

（2）设

a b

的夹角



，由（1）中可得

cos

| || | 2





 

a b

a b ，故







因为

( 3,1)

b

，所以

3 1

( , )

| | 2 2



， ······················· 7 分

{#{QQABLYYUggggABAAABgCQQWCCgOQkAECAIgORBAIIAABSQNABAA=}#}

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