山东新高考联合质量测评高三10月联考试题 数学答案B

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高三数学参考答案 第２
　　　　 页（共４页）
山东新高考联合质量测评１０月联考（
Ｂ版）
高三数学参考答案及评分标准 ２０２４１０
１
．Ｃ
　
２．Ａ　
３．Ｂ
　
４．Ａ　
５．Ｃ
　
６．Ｄ　
７．Ｃ
　
８．Ｂ
　
９．ＡＤ
　
１０．ＢＣ
　
１１．ＡＣＤ
　
１２．２
　
１３．
槡
２　
１４．１６
１５．
解：（
１
）因为
ｆ
（ ）
ｘ
是偶函数，所以
ｆ
（
１
）
＝
ｆ
（
－１
）
＝
ａ
３
－１－３
－１＝３
ａ
－１
３＝８
３，
解得
ａ
＝１
，２分
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
所以当
ｘ
≤
０时，
ｆ
（ ）
ｘ
＝１
３
ｘ
－３
ｘ
，３分
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
当
ｘ
＞
０时，可得－
ｘ
＜
０
，则
ｆ
－
（ ）
ｘ
＝１
３
－
ｘ
－３
－
ｘ
＝３
ｘ
－３
－
ｘ
＝
ｆ
（ ）
ｘ
，４分
!!!!!
所以函数
ｆ
（ ）
ｘ
的解析式为
ｆ
（ ）
ｘ
＝３
－
ｘ
－３
ｘ
，
ｘ
≤
０
，
３
ｘ
－３
－
ｘ
，
ｘ
＞
０
｛
．５分
!!!!!!!!!!!!
（
２
）存在．
假设存在正实数
ｍ
，
ｎ
，使得当
ｘ
∈
ｍ
，
［ ］
ｎ
时，函数
ｆ
（ ）
ｘ
的值域为 ５－ ７
３
ｍ
，
５－７
３
［ ］
ｎ
，
因为当
ｘ
＞
０时，
ｆ
（
ｘ
）
＝３
ｘ
－３
－
ｘ
，所以
ｆ
（
ｘ
）在
ｘ
∈［
ｍ
，
ｎ
］上单调递增，６分
!!!!
所以
ｆ
（
ｍ
）
＝５－ ７
３
ｍ
ｆ
（
ｎ
）
＝５－７
３
烅
烄
烆
ｎ
，
所以
ｍ
，
ｎ
为方程
ｆ
（
ｘ
）
＝５－７
３
ｘ
的两个根，即３
ｘ
－３
－
ｘ
＝５－７
３
ｘ
的两个根，８分
!!!
即（
３
ｘ
）
２－５
·
３
ｘ
＋６＝０的两根，整理得３
ｘ
＝２或３
ｘ
＝３
，１０分
!!!!!!!!!!
解得
ｘ
＝ｌｏ
ｇ
３
２或
ｘ
＝１
，１２分
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
又０
＜
ｍ
＜
ｎ
，所以
ｍ
＝ｌｏ
ｇ
３
２
，
ｎ
＝１
，
所以存在
ｍ
＝ｌｏ
ｇ
３
２
，
ｎ
＝１
，使得当
ｘ
∈［
ｍ
，
ｎ
］时，函数
ｆ
（
ｘ
）的值域为 ５－ ７
３
ｍ
，
５－７
３
［ ］
ｎ
．
１３分
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
１６．
（
１
）证明：取
ＳＡ
中点
Ｅ
，连结
ＢＥ
，
ＣＥ
，则
ＳＡ
⊥
ＢＥ
，
ＳＡ
⊥
ＣＥ
，且
ＢＥ
∩
ＣＥ
＝
Ｅ
，所以
ＳＡ
⊥平面
ＢＣＥ
，所以
ＳＡ
⊥
ＢＣ
，３分
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
因为
ＢＣ
⊥
ＡＢ
且
ＳＡ
∩
ＡＢ
＝
Ａ
，所以
ＢＣ
⊥平面
ＳＡＢ
．６分
!!!!!!!!!!!
（
２
）解：取
ＡＢ
中点
Ｏ
，以
ＯＳ
为
ｚ
轴，
ＯＢ
为
ｙ
轴，过
Ｏ
平行
ＢＣ
的线为
ｘ
轴，建立如图
所示坐标系．
因为
ＡＤ
＝
ＣＤ
＝６
，可得
ＢＣ
槡
＝３ ３，所以
ＡＣ
＝６
，所
以△
ＡＣＤ
为等边三角形，８分
!!!!!!!!!!!!!
由
ＡＢ
＝３
，
ＣＤ
＝６
，得以下点的坐标
Ｏ
（
０
，
０
，
０
），
Ｓ
０
，
０
，槡
３ ３
（ ）
２，
Ａ
０
，
－３
２，
（ ）
０，
Ｃ
槡
３ ３，
３
２，
（ ）
０，
Ｄ
槡
３ ３，
－９
２，
（ ）
０，１０分
!!!
所以 →
ＡＳ
＝０
，
３
２，槡
３ ３
（ ）
２，→
ＡＣ
＝（槡
３ ３，
３
，
０
）， →
ＡＤ
＝（槡
３ ３，
－３
，
０
），
１２分
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
设平面
ＳＡＣ
的一个法向量为
ｎ
１＝（
ｘ
１，
ｙ
１，
ｚ
１），则
→
ＡＳ
·
ｎ
１＝３
２
ｙ
１＋槡
３ ３
２
ｚ
１＝０
，
→
ＡＣ
·
ｎ
１槡
＝３ ３
ｘ
１＋３
ｙ
１＝０
烅
烄
烆，
令
ｘ
１＝１
，得平面
ＳＡＣ
的一个法向量为
ｎ
１＝（
１
，槡
－ ３，
１
）， １３分
! ! ! ! ! ! ! ! !
设平面
ＳＡＤ
的一个法向量为
ｎ
２＝（
ｘ
２，
ｙ
２，
ｚ
２），
则
→
ＡＳ
·
ｎ
２＝３
２
ｙ
２＋槡
３ ３
２
ｚ
２＝０
，
→
ＡＤ
·
ｎ
２槡
＝３ ３
ｘ
２－３
ｙ
２＝０
烅
烄
烆，
令
ｘ
２＝１
，得平面
ＳＡＤ
的一个法向量为
ｎ
２＝（
１
，
槡
３，
－１
）， １４分
! ! ! ! ! ! ! ! !
所以平面
ＳＡＣ
与平面
ＳＡＤ
所成角的余弦值为ｃｏｓ
θ
＝｜
ｎ
１·
ｎ
２
｜
｜
ｎ
１
｜
·
｜
ｎ
２
｜
＝３
５．１５分
! !
１７．
解：（
１
）由题意，
ａ
１＝
ｂ
１＝
ｃ
１＝１
，
数列
ｂ
｛ ｝
ｎ
为单调递增的等比数列，
ｂ
１＋
ｂ
１
ｑ
２＝５
２
ｂ
１
ｑ
，解得
ｑ
＝２或
ｑ
＝１
２（ ）
舍，
所以
ｂ
ｎ
＝２
ｎ
－１，２分
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
２
ｎ
＋１
ｃ
ｎ
＋１－２
ｎ
－１
ｃ
ｎ
＝０
，即
ｃ
ｎ
＋１
ｃ
ｎ
＝１
４，所以数列
ｃ
｛ ｝
ｎ
为等比数列，
ｃ
ｎ
＝１
４
ｎ
－１ ，４分
!!!!
ａ
ｎ
＋
ｃ
ｎ
＝
ａ
ｎ
＋１即
ａ
ｎ
＋１－
ａ
ｎ
＝１
４
ｎ
－１ ，
所以
ｎ
≥
２时，由叠加法
ａ
ｎ
＝
ａ
１＋１＋１
４＋１
４
２＋…＋１
４
ｎ
－２＝７
３－１
３×４
ｎ
－２，６分
!!!!
当
ｎ
＝１时，
ａ
１＝１符合，
故
ａ
ｎ
＝７
３－１
３×４
ｎ
－２．７分
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
（
２
）由
Ｓ
ｎ
＝
ｎ
２得，
ｎ
≥
２时，
ｂ
ｎ
＝
ｎ
２－
ｎ
（ ）
－１ ２＝２
ｎ
－１
，
ｎ
＝１ 时，
ｂ
１＝１ 满足 上 式，所以
ｂ
ｎ
＝２
ｎ
－１
，９分
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
所以 ２
ｎ
（ ）
＋３
ｃ
ｎ
＋１－ ２
ｎ
（ ）
－１
ｃ
ｎ
＝０
，即
ｃ
ｎ
＋１
ｃ
ｎ
＝
２
ｎ
－１
２
ｎ
＋３
，
所以
ｎ
≥
２时，由叠乘法
ｃ
ｎ
＝
ｃ
１
１
５×３
７×５
９×…×
２
ｎ
－３
２
ｎ
（ ）
＋１ ＝３
２
ｎ
（ ）
－１ ２
ｎ
（ ）
＋１ ，
当
ｎ
＝１时，
ｃ
１＝１符合，
所以
ｃ
ｎ
＝３
２
ｎ
（ ）
－１ ２
ｎ
（ ）
＋１ ＝３
２
１
２
ｎ
－１
－１
２
ｎ
（ ）
＋１ ，１１分
! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !
Ｔ
ｎ
＝３
２１－
（ ）
１
３＋１
３－
（ ）
１
５＋…＋１
２
ｎ
－１
－１
２
ｎ
（ ）
［ ］
＋１ ＝３
２１－ １
２
ｎ
（ ）
＋１ ＝３
ｎ
２
ｎ
＋１
，因
为
Ｔ
ｎ
＋１－
Ｔ
ｎ
＝
ｃ
ｎ
＋１＝３
２
ｎ
（ ）
＋１ ２
ｎ
（ ）
＋３ ＞
０
，所以数列
Ｔ
｛ ｝
ｎ
单调递增，所以
Ｔ
（ ）
ｎ
ｍｉｎ
＝
Ｔ
１
＝
ｃ
１＝１
，１３分
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
因为对任意正整数
ｎ
均有
Ｔ
ｎ
＞
ｍ
２０２５
成立，所以
ｍ
２０２５
＜
１
，解得
ｍ
＜
２０２５
，因为
ｍ
∈Ｎ，
所以
ｍ
ｍａｘ＝２０２４
，所以
ｍ
的最大值为２０２４．１５分
! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !
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