河北省唐山市2021-2022学年高一下学期期中模拟联考数学试卷学生答案

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2021—2022 学年度高一年级第二学期期中模拟联考
数 学 答 案
一、单项选择题（40 分）
1-4 DDAB 5-8 BCCD
二、多项选择题（20 分）
9.BC 10.AD 11.CD 12.ACD
三、填空题（20 分）
13.—1 14. 15. 　2 16.
四、解答题（70 分）
17.（10 分）解：（1）∵z1z2＝－5＋5i，∴z2＝＝＝3－i.
（2）z3＝(3－z2)[(m2－2m－3)＋(m－1)i]＝i[(m2－2m－3)＋(m－1)i]
＝－(m－1)＋(m2－2m－3)i，
∵z3在复平面内所对应的点在第四象限，∴解得－1＜m＜1，
故实数 m的取值范围是(－1，1)．
18．（12 分）解：选择条件①：
（1）AB2＋AB·BC＝AB·(AB＋BC)＝AB·AC＝bccos A＝－6.
cos ∵A＝－，∴bc＝24，
由解得或(舍去)，
∴a2＝b2＋c2－2bccos A＝36＋16－2×6×4×＝64，∴a＝8.
（2）cos C＝＝＝，∴sin C＝ ＝，
cos 2∴C＝2cos2C－1＝，sin 2C＝2sin Ccos C＝，
cos(2∴C＋)＝cos 2Ccos －sin 2Csin ＝.
选择条件②：
（1）由解得或(舍去)，
∴a2＝b2＋c2－2bccos A＝36＋16－2×6×4×＝64，∴a＝8.
（2）同条件①.
选择条件③：
（1）∵cos A＝－，∴sin A＝，∴S△ABC＝bcsin A＝bc＝3，
∴bc＝24，由解得或(舍去)，
∴a2＝b2＋c2－2bccos A＝36＋16－2×6×4×＝64，∴a＝8.
（2）同条件①.
19．（12 分）（1）解：因为 AD∥BC，所以∠DAP 或其补角就是异面直线 AP 与BC 所成
的角．
因为 AD⊥平面 PDC，所以 AD⊥PD
．
在Rt△PDA 中，AP＝＝，
所以 cos ∠DAP＝＝.所以异面直线 AP 与BC 所成角的余弦值为.
（2） 证 明 ： 因 为 AD⊥ 平 面 PDC ， 所 以 AD⊥PD
．
又 因 为 AD∥BC ，PD⊥BC ， 又
PD⊥PB，BC∩PB＝B，所以 PD⊥平面 PBC
．
（3）解：过点 D作AB 的平行线交 BC 于点 F，连接 PF，则 DF 与平面 PBC 所成的角等于
AB 与平面 PBC 所成的角．因为 PD⊥平面 PBC，故 PF 为DF 在平面 PBC 上的射影，所以
∠DFP 为直线 DF 和平面 PBC 所成的角．由于 AD∥BC，DF∥AB，故 BF＝AD＝1.由已知
得CF＝BC－BF＝2.又AD⊥DC，故 BC⊥DC
．
在Rt△DCF 中，DF＝＝2.在Rt△DPF 中，
sin∠DFP＝＝.所以直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值为.
20.（12 分） 解：（1）由题设及正弦定理得 sin A·sin＝sin B·sin A．因为 sin A≠0，所以 sin
＝sinB.由A＋B＋C＝180°，可得 sin＝cos，故 cos＝2sincos.
因为 cos≠0，所以 sin＝，所以 B＝60°.
（2）由题设及（1）知△ABC 的面积 S△ABC＝a.由（1）知 A＋C＝120°，
由正弦定理得 a＝＝＝＋.
由于△ABC 为锐角三角形，故 0°<A<90°，0°<C<90°.
由（1）知，A＋C＝120°，所以 30°<C<90°，
故<a<2，从而<S△ABC<.因此，△ABC 面积的取值范围是.
21．（12 分） 解：（1）证明：因为四边形 ABCD 是菱形，所以 AD∥BC.
因为 AD⊄平面 PBC，BC⊂平面 PBC，所以 AD∥平面 PBC.
（2）证明：设 AC，BD 交于点 O，连接 PO(图略)．
因为四边形 ABCD 是菱形，所以 AC⊥BD，DO＝OB.因为 PB＝PD，所以 PO⊥BD.
因为 AC∩PO＝O，PO，AC⊂平面 PAC，所以 BD⊥平面 PAC.
（3）①过 F作FG∥DC 交PC 于G，连接 BG.
在菱形 ABCD 中，AB＝DC，AB∥DC，所以 FG∥AB.所以 E，F，G，B共面．
因为 EF∥平面 PBC，平面 FEBG∩平面 PBC＝BG，所以 EF∥BG.
所以四边形 FEBG 为平行四边形．所以 EB＝FG.因为 AE＝2EB，所以＝＝＝.
②△PAD 不是等腰三角形，理由如下：
作BQ⊥AD 交AD 于点 Q，连接 PQ.
因为平面 PAD⊥平面 ABCD，平面 PAD∩平面 ABCD＝AD，BQ⊂平面 ABCD，
所以 BQ⊥平面 PAD.所以 BQ⊥PD.因为 PD⊥PB，PB∩BQ＝B，所以 PD⊥平面 PBQ.
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