河北省唐山市2021-2022学年高一下学期期中模拟联考数学试卷教师用卷

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2021—2022 学年度高一年级第二学期期中模拟联考

数学试卷

一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的．

1.在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于(　　)

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

解析：选 D　(2－i)2＝4－4i＋i2＝3－4i，在复平面内对应的点为(3，－4)，位于第四象限．

2.下列等式恒成立的是(　　)

A．AB＋BA＝0 B．AB－AC＝BC C．(a·b)·c＝a·(b·c) D．(a＋b)·c＝a·c＋b·c

解析：选 D　AB＋BA＝0，故 A错误；AB－AC＝CB，故 B错误；(a·b)·c

表示与 c共线的向量，而 a·(b·c)表示与 a共线的向量，故 C错误；根据平面

向量数量积的运算性质可知 D正确．

3.棱长为 2的正方体的内切球的表面积为(　　)

A．4π　 B．π　 C．8π　　 D．32π

解析：选 A 正方体的棱长为 2，即其内切球的直径 d＝2，半径 r＝＝1，所以内切球的表面

积S＝4πr2＝4π.

4.在△ABC 中，若 A＝105°，B＝45°，b＝2，则 c等于(　　)

A．1 B．2 C. D.

解析：选 B　∵A＝105°，B＝45°，∴C＝30°.由正弦定理，得 c＝＝＝2.

5.设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数 a＋为纯虚数”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：选 B　因为 a＋＝a－bi为纯虚数，所以必有 a＝0且b≠0，所以 ab＝0，

因此“ab＝0”是“复数 a＋为纯虚数”的必要条件．而当 ab＝0时，有 a＝0或b＝0，

当b＝0时，a＋为实数，因此“ab＝0”不是“复数 a＋为纯虚数”的充分条件．

故“ab＝0”是“复数 a＋为纯虚数”的必要不充分条件．

6.如图，正四棱锥 P-ABCD 的体积为 2，底面积为 6，E为侧棱 PC 的中点，则直线 BE 与平

面PAC 所成的角为(　　)

A．30°　　 B．45°　 C．60°　D．90°

解析：选 C 如图，在正四棱锥 P-ABCD 中，根据底面积为 6，可得 BC＝.连接 BD 交AC 于

点O，连接 PO，则 PO 为正四棱锥 P-ABCD 的高，根据

体积公式可得 PO ＝1. 因为 PO⊥ 底面 ABCD ，所以

PO⊥BD ，又 BD⊥AC ，PO∩AC ＝O，所以 BD⊥ 平面

PAC

．

连接 EO，则∠BEO 为直线 BE 与平面 PAC 所成的

角．在 Rt△POA 中，因为 PO ＝1，OA ＝，所以 PA ＝

2，OE＝PA＝1.在Rt△BOE 中，因为 BO＝，所以 tan∠BEO＝＝，即∠BEO＝60°.故直线

BE 与平面 PAC 所成角为 60°.

7.在平面上有 A，B，C三点，设 m＝AB＋BC，n＝AB－BC，若 m与n的长度恰好相等，则

有(　　)

A．A，B，C三点必在一条直线上 B．△ABC 必为等腰三角形且∠B为顶角

C．△ABC 必为直角三角形且∠B为直角 D．△ABC 必为等腰直角三角形

解析：选 C　以 BA，BC 为邻边作平行四边形 ABCD(图略)，则 m＝AB＋BC＝AC，n＝AB

－BC＝AB－AD＝DB，由 m，n的长度相等可知，两对角线相等，因此平行四边形一定是

矩形．故选 C.

8.如图所示，在矩形 ABCD 中，AB＝4，AD＝2，P为边 AB 的中点，现将△DAP 绕直线 DP

翻转至△DA′P处，若 M为线段 A′C的中点，则异面直线 BM 与PA′所成角的正切值为(　　)

A．4　　 B．2　 C．　 D．

解析：选 D 取A′D的中点 N，连接 PN，MN.∵M是A′C的中点，∴MN∥CD，且 MN＝

．

∵四边形 ABCD 是矩形，P是AB 的中点，∴PB∥CD，且 PB＝CD

．

∴MN∥PB，且

MN＝PB

．

∴四边形 PBMN 为平行四边形．∴MB∥PN.∴∠A′PN(或其补角)是异面直线

BM 与PA′所成的角．在 Rt△A′PN 中，tan∠A′PN＝＝，∴异面直线 BM 与PA′所成角的正

切值为.故选 D．

二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求．全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分．

9.已知集合 M＝{m|m＝in，n∈N}，其中 i为虚数单位，则下列元素属于集合 M的是(　　)

A．(1－i)(1＋i) B. C. D．(1－i)2

解析：选 BC　根据题意，M＝{m|m＝in，n∈N}中，n＝4k(k∈N)时，in＝1；n＝4k＋

1(k∈N)时，in＝i；n＝4k＋2(k∈N)时，in＝－1；n＝4k＋3(k∈N)时，in＝－i，∴M＝{－

1，1，i，－i}．选项 A中，(1－i)(1＋i)＝2∉M；选项 B中，＝＝－i∈M；选项 C中，＝＝

i∈M；选项 D中，(1－i)2＝－2i∉M.故选 B、C.

10.如图，PA 垂直于以 AB 为直径的圆所在的平面，点 C是圆上异于 A，B的任一点，则下

列结论中正确的是(　　)

A．PC⊥BC B．AC⊥平面 PBC C．平面 PAB⊥平面 PBC D．平面 PCB⊥平面 PBC

解析：选 AD 由PA 垂直于以 AB 为直径的圆所在的平面，点 C是圆上异于 A，B的任一点，

在A中，BC⊥AC，BC⊥PA，PC∩PA＝P，∴BC⊥平面 PAC，∴PC⊥BC，故 A正确；在

B中，∵PA⊥AC，AC∩PC＝C，∠PCA＜，∴AC 与PC 不垂直，∴AC 与平面 PBC 不垂直，

故B错误；在 C中，∵PAB 是固定的平面，PBC 是移动的平面，∴平面 PAB 和平面 PBC

不垂直，故 C错误；在 D中，∵BC⊥平面 PAC，BC⊂平面 PBC，∴平面 PAC⊥平面

PBC，故 D正确．故选 AD．

11. 在△ABC 中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝

9∶10∶11，则下列结论正确的是(　　)

A．sin A∶sin B∶sin C＝3∶4∶5 B．△ABC 是钝角三角形

C．△ABC 的最大内角是最小内角的 2倍 D．若 c＝6，则△ABC 外接圆半径为

解析：选 CD　因为(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝9∶10∶11，所以可设(x＞0)，解得 a＝4x，b

＝5x，c＝6x，所以 sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝4∶5∶6，所以 A错误；

由上可知，c边最大，所以三角形中角 C最大，又 cos C＝＝＝＞0，所以角 C为锐角，所

以B错误；由上可知 a边最小，所以三角形中角 A最小，又 cos A＝＝＝，所以 cos 2A＝

2cos2A－1＝，所以 cos 2A＝cos C，由三角形中角 C最大且角 C为锐角可得，

2A∈(0，π)，C∈，所以 2A＝C，所以 C正确；由正弦定理得 2R＝，又 sin C＝＝，所以

2R＝，解得 R＝，所以 D正确．

12.对于四面体 A-BCD，以下命题中正确的命题是(　　)

A．若 AB＝AC＝AD，则 AB，AC，AD 与底面所成的角相等

B．若 AB⊥CD，AC⊥BD，则点 A在底面 BCD 内的射影是△BCD 的内心

C．四面体 A-BCD 的四个面中最多有四个直角三角形

D．若四面体 A-BCD 的6条棱长都为 1，则它的内切球的表面积为

解析：选 ACD 如图 1，设点 A在平面 BCD 内的射影是 E，因为 sin∠ABE＝，sin∠ACE

＝， sin∠ADE ＝， AB ＝AC ＝AD ，所以 sin∠ABE ＝sin∠ACE ＝sin∠ADE ，则

AB，AC，AD 与底面所成的角相等，故 A正确；因为 AE⊥平面 BCD，所以 AE⊥CD，又

AB⊥CD，所以 CD⊥平面 ABE，所以 CD⊥BE，同理可证 BD⊥CE，所以 E是△BCD 的

垂心，故 B不正确；

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