河北省石家庄市第二中学2022-2023学年高三下学期3月月考试题 数学 含解析

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河北石家庄二中 2023 届高三年级数学 3 月考试题
时间：120 分钟 分值：150 分
一、单选题(本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的.)
1．已知集合 ， ，则 （）
A．B．C．D．
2．在复平面内， 对应的点分别为 ，则 对应的点为（）
A． B． C． D．
3．斐波那契数列因以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.此数列在现代物理、准晶体结构、
化学等领域都有着广泛的应用，斐波那契数列 可以用如下方法定义： ，且 ，
若此数列各项除以 4的余数依次构成一个新数列 ，则数列 的前 2023 项的和为（）
A．2023 B．2024 C．2696 D．2697
4．已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线交 于点 ，点 在 的准线上，若 为等
边三角形，则 （）
A．B．6 C．D．16
5．在一次春节聚会上，小王和小张等 4位同学准备互相送祝福.他们每人各写了一张祝福的贺卡，这四
张贺卡收齐后让每人从中随机抽取一张作为收到的新春祝福，则（）
A．小王和小张恰好互换了贺卡的概率为
B．已知小王抽到的是小张写的贺卡的条件下，小张抽到小王写的贺卡的概率为
C．恰有一个人抽到自己写的贺卡的概率为
D．每个人抽到的贺卡都不是自己写的概率为
6．与正三棱锥 6条棱都相切的球称为正三棱锥的棱切球.若正三棱锥的底面边长为 ，侧棱长为 3，则
此正三棱锥的棱切球半径为（）
A．B．C．D．
7．设 是平面直角坐标系中关于 轴对称的两点，且 .若存在 ，使得 与
垂直，且 ，则 的最小值为( )
A．1 B．
√
3
C．2 D．
8．若 ， ， ，则实数 a，b，c后的大小关系为（ÐÐÐÐ）
A．B．
C．D．
二、多选题(本小题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部
选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.)
9．已知函数 ，则（）
A． 的值域为 B．直线 是曲线 的一条切线
C． 图象的对称中心为 D．方程 有三个实数根
10．在四棱锥 中，底面 为矩形，侧面 为等边三角形， ，则
（）
A．平面 平面 B．直线 与 所成的角的余弦值为
C．直线 与平面 所成的角的正弦值为 D．该四棱锥外接球的表面积为
11．已知函数 图像过点 ，且存在 ，当 时，
，则（）
A． 的周期为 B． 图像的一条对称轴方程为
C． 在区间 上单调递减 D． 在区间 上有且仅有 4个极大值点
12．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，过 的直线交 C的右支于点 A，B，
若 ，则（）
A．B．C的渐近线方程为
C．D． 与 面积之比为 2∶1
三、填空题
13．若角 的始边是轴非负半轴，终边落在直线 上，则 ______.
14．在棱长为 2的正方体 中，点 E，F，G分别是线段的中点，点 M在正
方形
A1B1C1D1
内（含边界），记过E，F，G的平面为 ，若 ，则 的取值范围是______.
15．已知椭圆 的焦距为2，过椭圆 的右焦点 且不与两坐标轴平行的直线交椭
圆于 ， 两点，若轴上的点 满足 且恒成立，则椭圆 离心率的取值范围为_____
_.
16．若函数 只有一个极值点，则的取值范围是___________.
四、解答题(本题共 6小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17． (本小题满分10分)已知 内角 所对的边分别为 ，面积为 ，且
，求：
(1)求角 的大小； (2)求 边中线 长的最小值.
18．已知等比数列 的前 n项和为 （b为常数）．
(1)求b的值和数列 的通项公式；
(2)记为 在区间 中的项的个数，求数列 的前 n项和 ．
19．如图，三棱柱中，侧面 为矩形， 且
为 的中点， ．
(1)证明： 平面 ；(2)求平面 与平面 的夹角的余弦值．
20．在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列.现连续发射信号次，每次发射信号“0”和
“1”是等可能的.记发射信号“1”的次数为 .
(1)当 时，求 ；
(2)已知切比雪夫不等式：对于任一随机变量 ，若其数学期望和方差 均存在，则对任意正实
数，有 .根据该不等式可以对事件“ ”的概率作出下限估计.为了
至少有 的把握使发射信号“1”的频率在 与 之间，试估计信号发射次数的最小值.
21．已知双曲线 的实轴长为 4，左 右顶点分别为､，经过点 的直线与
的右支分别交于 两点，其中点 在轴上方.当 轴时，

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