河北省秦皇岛市2023届部分学校高三下学期联考（二模）数学试题

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河北省 2023 届高三第二次高考模拟演练
数 学
一、单项选择题∶本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．若复数
z=2+i
1−i
，则
|
z
)
=¿
A．1 B．
❑
√
10
2
C．
❑
√
10
4
D．
❑
√
10
2．若集合
A=
{
x
)
y=❑
√
1− x
)
，
B=
{
x
)
x2−2x ≥ 0
)
，则
A ∩ B=¿
A．
B．
(
0,1
)
C．
(
− ∞ , 0
)
D．
[
0,1
)
3．已知数列
{
an
)
满足
2an+1=an+an+2
，其前 n项和为
Sn
，若
S9=18
，则
a5=¿
A．
−2
B．0 C．2 D．4
4．已知
w>0
，函数
f
(
x
)
=3 sin
(
wx +π
4
)
−2
在区间
[
π
2,π
)
上单调递减，则
w
的取值范围是
A．
(
0,1
2
)
B．
(
0,2
)
C．
[
1
2,3
4
)
D．
[
1
2,5
4
)
5．某学校为了搞好课后服务工作，教务处建了一批社团，学生们都能积极选择自己喜欢的社
团．目前音乐社团、书法社团、摄影社团、皮影社团分别还可以再接收 1名学生，恰好含甲、
乙的 4名同学前来教务科申请加入，按学校规定每人只能加入一个社团，则甲进皮影社团，乙
进书法社团或摄影社团的概率为
A．
1
4
B．
1
5
C．
1
6
D．
1
8
6．已知正三棱锥
S − ABC
的底面边长为 3，侧棱长为
2❑
√
3
，点 P为此三棱锥各顶点所在球面上
的一点，则点 P到平面 SAB 的距离的最大值为
A．
3❑
√
13+26
13
B．
2❑
√
13+26
13
C．
3❑
√
13+24
13
D．
2❑
√
13+24
13
7．若
a=1.1 ln 1.1, b=0.1 e0.1 , c=1
9
，则
a , b , c
的大小关系为
A．
a<b<c
B．
c<a<b
C．
b<a<c
D．
a<c<b
8．已知 F1，F2分别是双曲线 C：
x2
a2−y2
b2=1(a>0，b>0)
的左、右焦点，点 P在双曲线上，
P F1⊥P F2
，圆 O：
x2+y2=9
4(a2+b2)
，直线 PF1与圆 O相交于 A，B两点，直线 PF2与圆 O
相交于 M，N两点．若四边形 AMBN 的面积为
9b2
，则 C的离心率为
A．
5
4
B．
8
5
C．
❑
√
5
2
D．
2❑
√
10
5
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有两个
或两个以上选项符合题目要求，全部选对得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分。
9．下列结论正确的是
A．数据 64，91，72，75，85，76，78，86，79，92 的第 60 百分位数为 79
B．若随机变量
ξ
服从二项分布
B
(
4,1
2
)
，则
P
(
ξ=3
)
=1
4
C．若随机变量
η
服从正态分布
N
(
5, σ2
)
，
P
(
η ≤2
)
=0.1
，则
P
(
2<η<8
)
=0.8
D．某校三个年级，高一有 400 人，高二有 360 人.现用分层抽样的方法从全校抽取 57 人，已知
从高一抽取了 20 人，则应从高三抽取 19 人
10．已知 a，b为实数，且
1
❑
√
a>1
❑
√
b
，则下列不等式正确的是
A．
a2>b2
B．
b
a+b+a
2b≥2❑
√
2−1
2
C．
b+1
a+1<b
a
D．
4a+4
a+1≥4
11．函数
f
(
x
)
与
g
(
x
)
的定义域为
R
，且
f
(
x
)
g
(
x+2
)
=4, f (x)g
(
− x
)
=4
.若
f
(
x
)
的图像关于点
(
0,2
)
对称.则
A．
f
(
x
)
的图像关于直线
x=−1
对称 B．
∑
i=1
2024
f
(
k
)
=2048
C．
g
(
x
)
的一个周期为 4 D．
g
(
x
)
的图像关于点
(
0,2
)
对称
12．已知正方体
ABCD− A1B1C1D1
的棱长为 2，棱 AB 的中点为 M，
点N在正方体的内部及其表面运动，使得
MN /¿
平面
A1B C1
，则
A．三棱锥
N − A1B C1
的体积为定值
2
3
B．当
|
MN
)
最大时，MN 与BC 所成的角为
π
3
C．正方体的每个面与点 N的轨迹所在平面所成角都相等
D．若
DN =2
，则点 N的轨迹长度为
2 π
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．
13．南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图 1所
示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图 2所
示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛
满茶水时茶水的深度为 3cm，则该抛物线的焦点到准
线的距离为______cm.
14．莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上
应用广泛，如图所示，分别以正三角形
ABC
的顶点为圆心，以边长为半
径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知
A , B
两点间的距离为 2，点
P
为
´
AB
上的一点，则
⃗
PA ⋅(
⃗
PB+
⃗
PC)
的最小值为__
____．
15．2022 年12 月7日为该年第 21 个节气“大雪”．“大雪”标志着仲冬
时节正式开始，该节气的特点是气温显著下降，降水量增多，天气变得更加寒冷．“大雪”节
气的民俗活动有打雪仗、赏雪景等．东北某学生小张滚了一个半径为2分米的雪球，准备对它
进行切割，制作一个正六棱柱模型
ABCDEF − A1B1C1D1E1F1
，设M为
B1E1
的中点，当削
去的雪最少时，平面 ACM 截该正六棱柱所得的截面面积为______平方分米．
16．已知定义在 R上的偶函数
f
(
x
)
满足
f
(
x
)
=f
(
− x +4
)
，
f
(
2024
)
=1
e2
，若
f
(
x
)
− f ′
(
x
)
>0
，则
不等式
f
(
x+2
)
>ex
的解集为______.
四、解答题：本题共 6小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．在
△ABC
中，角
A , B , C
的对边分别为
a , b , c
，已知
b=7
，且
a+b
c=sin A − sin C
sin A − sin B
.
(1)求
△ABC
的外接圆半径
R
；
(2)求
△ABC
内切圆半径
r
的取值范围.
18．如图，在三棱锥
P − ABC
中，
H
为
△ABC
的内心，直线
AH
与
BC
交于
M
，
∠PAB=∠PAC
，
∠PCA=∠PCB
.
(1)证明：平面
PAM ⊥
平面
ABC
；
(2)若
AB⊥BC
，
PA=AB=3
，
BC=4
，求二面角
M − PA −C
的余弦值.
19．随着国民旅游消费能力的提升，选择在春节假期放松出行的消费者数量越来越多．伴随着
我国疫情防控形势趋向平稳，被“压抑”已久的出行需求持续释放，“周边游”、“乡村游”
等新旅游业态火爆，为旅游行业发展注入新活力，旅游预订人数也开始增多，为了调查游客预
订与年龄是否有关，调查组对400 名不同年龄段的游客进行了问卷调查，其中有 200 名游客预
定了，这 200 名游客中各年龄段所占百分比见图：
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