江苏省南通市如皋市2023-2024学年高三上学期期中考试数学参考答案(1)(1)

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2023－2024 学年度高三年级第一学期期中教学质量调研
—、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
选项 C　 B B A D D C A
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
题号 9 10 11 12
选项 ABD　 ACD AD CD
三、填空题:本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13. 14． 或 15． 16．
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．解：（1）因为 ,所以 ,
得： …………………………………………………2分
在①中，令 ,得： …………………………………………………4分
因为 ， ，
所以数列 是常数列……………………………………………………5分
（2）设数列 的前 项的和为 ，由（1）得： ，
得： ………………………………7分
所以 ……………………………………………………10 分
18．解：（1）因为 ，
所以
所以
所以 ……………………………………2分
因为 ， ，
所以 或……………………………………………………4分
当 时， ， 与 矛盾，故舍去，
因为 ，所以 ，所以 …………………………6分
（2）因为 ，所以 ，所以 ………………………………………7分
所以
在 中，由正弦定理得： …………………………………9分
在 中，由余弦定理得： ，
所以 ……………………………………………………11 分
所以 ………………………………………………………………12 分
18．（1）证明：连接 ，交 于 .
在直三棱柱 中，侧面 为平行四边形，
因为 ， 是平行四边形的对角线，所以 为 的中点，
所以 与 重合，所以 为 的中点…………………………………………1分
在 中，因为 分别是 的中点，所以 ………………3分
因为 , ,所以 …………………4分
（2）在 内，因为 ， ，所以 ，所以
，
在直三棱柱 中， ，
因为 ，所以
，
以 为正交基底，建立如图所示的空
间
直角坐标系 ………………………………6分
则 ， ， ， ，
，所以 ， ，
所以 ， ，
设平面 的一个法向量为 ，因为 ， ，
所以
令，则 ， ， 所以 …………………………………8分
同理：平面 的一个法向量为 …………………………………10 分
设二面角 为 ， ，
则
……………………………………11 分
所以 ，
综上所述：二面角 的正弦值为
…………………………………12 分
20．解：（1）“某位进入决赛的选手三组射击后得分为 14 分”记事件 A，
所以 …………………………………………………3分
答：某位进入决赛的选手三组射击后得分为 14 分的概率为 …………4分
z
y
x
A
1
C
B
1
N
M
A
C
B
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