江苏省南京市第九中学2022-2023学年高二上学期期末模拟检测数学试卷 含解析

3.0 envi 2024-11-29 4 4 1.17MB 16 页 3知币
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2022-2023 学年高二期末模拟检测 数学
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1. 已知点 ，直线 ，点 R是直线 l上的一个动点，若 P是RA 的中点，则点
P的轨迹方程为()
A． B． C． D．
2. 已知在圆 上恰有两个点到原点的距离为 ，则 a的取值范围
是()
A． B． C． D．
3. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与
短半轴长的乘积．若椭圆 C的中心为原点，焦点 ， 均在 x轴上，椭圆 C的面积为 ，且
短轴长为 ，则椭圆 C的标准方程为()
A． B． C． D．
4. 已知 ，则动点 P的轨迹是()
A． 双曲线 B． 双曲线左边一支
C． 一条射线 D． 双曲线右边一支
5. 对于一切实数 x，令 为不大于 x的最大整数，则函数 称为高斯函数或取整函
数．若 ， ， 为数列 的前 n项和，则 ()
A． B． C． D．
6. 若正项数列 中， ， ，则 的值是()
A． B． C． D．
7. 函数 的图象大致为()
A． B．
C． D．
8. 已知函数 ，则“ ”是“ 是 的极小值点”的()
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求。全部选对的得 5分，有选错的得 0分，部分选对的得 2分。
9. 设有一组圆 ： ，下列说法正确的是()
A． 这组圆的半径均为 1
B． 直线 平分所有的圆
{ }
n
a
C． 直线 被圆 截得的弦长相等
D． 存在一个圆 与 x轴和 y轴均相切
10. 已知双曲线 的左、右顶点分别为 A，B，点 P是C上的任意一点，则下列结
论正确的是()
A． 若直线 与双曲线 C无交点，则
B． 焦点到渐近线的距离为 2
C． 点P到两条渐近线的距离之积为
D． 当P与A，B不重合时，直线 PA，PB 的斜率之积为 2
11. 已知数列 是公差为 d的等差数列，若存在实数 d，使得数列 满足：可以从中取出
无限多项，并按原来的先后次序排成一个等差数列，则下列结论正确的是()
A． 符合题意的数列 有无数多个 B． 符合题意的实数 d有无数多个
C． 符合题意的数列 仅有一个 D． 符合题意的实数 d仅有一个
12. 设 ， 在 上可导，且 ，则当 时，有()
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。
13．已知 m，n，a， ，且满足 ， ，则 的最
小值为__________．
14．从抛物线 的准线 l上一点 P引抛物线的两条切线 、 ，且 A、B为切点，若
直线 的倾斜角为 ，则 P点的横坐标为__________．
15．设数列 满足 ， ， ，数列 前 n项和为 ，且
且 若 表示不超过 x的最大整数， ，数列
的前 n项和为 ，则 的值为__________．
16．已知 对任意 都成立，则实数 a的最小值是__________．
四、解答题：本题共 6小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10 分）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的长为 2，宽为 1，AB，AD 边分别在
x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合，将矩形折叠，使 A点落在线段 DC 上，设此点为
若折痕的斜率为 ，求折痕所在的直线的方程；
若折痕所在直线的斜率为 k， 为常数 ，试用 k表示点 的坐标，并求折痕所在的直线的方
程；
当 时，求折痕长的最大值．
18．（12 分）在平面直角坐标系中，圆 M是以 ， 两点为直径的圆，且圆 N与
{ }
n
a{ }
n
a
圆M关于直线 对称．
求圆 N的标准方程;
设 ， ，过点 C作直线 ，交圆 N于P、Q两点，P、Q不在 y轴上．
过点 C作与直线 垂直的直线 ，交圆 N于E、F两点，记四边形 EPFQ 的面积为 S，求 S的最
大值;
设直线 OP，DQ 相交于点 G，试讨论点 G是否在定直线上，若是，求出该直线方程;若不是，
说明理由．
19．（12 分）已知抛物线 E的顶点在原点，焦点为 ，过焦点且斜率为 k的直线交抛物线于
P，Q两点，
求抛物线方程；
若 ，求 k的值；
过点 作两条互相垂直的直线分别交抛物线 E于A，B，C，D四点，且 M，N分别为线段
AB，CD 的中点，求 面积的最小值．
20．（12 分）已知正项数列 的前 n项和为 ，且
求数列 的通项公式；
若 ，数列 的前 n项和为 ，求 的取值范围；
若 ，从数列 中抽岀部分项 奇数项与偶数项均不少于
两项 ，将抽出的项按照某一顺序排列后构成等差数列．当等差数列的项数最大时，求所有满足条
件的等差数列．
21．（12 分）设函数
若 ，求 的极值；
讨论函数 的单调性；
若 ，证明： …
22．（12 分）已知抛物线 上有一动点 ， ，过点 P作抛物线 C的切线 l
交y轴于点
判断线段 的垂直平分线是否过定点?若过，求出定点坐标;若不过，请说明理由;
过点 P作l的垂线交抛物线 C于另一点 M，若切线 l的斜率为 k，设 的面积为 S，
求 的最小值．
参考答案
1．【答案】C
【解析】
解：设 ， ，
已知 ，由 P是RA 的中点，
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