江苏省南京航空航天大学附属高级中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题

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2022-2023 学年南京航空航天大学附属高级中学高一下期中考试
一．选择题（共 8小题，每题 5分，共 40 分）
1．已知复数 z满足（1﹣i）z＝3﹣i（i为虚数单位），则复数 z的模等于（　　）
A．1 B．2 C．D．4
2．已知向量 ， 满足 ，则向量 的夹角的大
小为（ ）．
A．B．C．D．
3．已知复数 z1＝ （cos +isin ），z2＝ （cos +isin ），则 z1z2的代数形式
是（　　）
A． （cos +isin ）B． （cos +isin ）
C． ﹣ iD．+i
4．在△ABC 中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，若 a﹣b＝ccosB﹣ccosA，则△ABC
的形状为（　　）
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
5．若 4sinα3cos﹣α＝0，则 sin2α+2cos2α＝（　　）
A．B．C．D．
6．如图，已知等腰△ABC 中 ， AB ＝AC ＝3，BC ＝4， 点 P是 边 BC 上的动点，则
（　　）
A．为定值 10 B．为定值 6
C．最大值为 18 D．与 P的位置有关
7．化简 ﹣2cos20°所得的结果是（　　）
A．B．C．D．2
8．已知△ABC 中，B＝C﹣，sinA＝ ，BC＝ ，则△ABC 的面积为（　　）
A．B．C．D．
二．多选题（共 4小题，每题 5分，共 20 分）
9．在复平面内，下列说法正确的是（　　）
A．若复数 （i为虚数单位），则 z＝i
B．若复数 z满足 z2∈R，则 z∈R
C．若复数 z＝a+bi（a，b∈R），则 z为纯虚数的充要条件是 a＝0
D．若复数 z满足|z|＝1，则复数 z对应点的集合是以原点 O为圆心，以 1为半径的圆
10．设 ， 是两个非零向量，则下列描述正确的有（　　）
A．若| + |＝| | |﹣|，则 ， 的方向相同
B．若 ⊥ ，则| + |＝|﹣|
C．若| + |＝| |+| |，则 在 方向上的投影向量为
D．若存在实数 λ使得 ＝λ，则| + |＝| | |﹣|
11．已知△ABC，a∈R，若 tanA，tanB是关于 x的方程 x2﹣ax+a+3＝0的两个根（含重根），
则△ABC 可能是（　　）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
12．若△ABC 的内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且满足 ，
则下列结论正确的是（　　）
A．角 C一定为锐角 B．a2+2b2﹣c2＝0
C．sinB+2sinAcosC＝0 D．3tanA+tanC＝0
三．填空题（共 4小题，每题 5分，共 20 分）
13．已知平面向量 ＝（2，﹣1）， ＝（m，2），且 ⊥ ，则| + |＝　 　．
14．已知 ，且 ，则 α+β＝　 　．
15．为了测量 A、B两岛屿之间的距离，一艘测量船在 D处观测，A、B分别在 D处的北偏
西15°、北偏东 45°方向．再往正东方向行驶 16 海里至 C处，观测 B在C处的正北方向
A在C处的北偏西 60°方向，则 A、B两岛屿之间的距离为 　 　海里．
16．在边长为 1的等边三角形 ABC 中，D为线段 BC 上的动点，DE⊥AB 且交 AB 于点
E，DF∥AB 且交 AC 于点 F，则|2 + |的值为 　 　；（ +）• 的最小值为
．
四．解答题（共 6小题）
17．（10 分）已知复数 z1＝a+3i，z2＝2﹣ai（a∈R，i是虚数单位）．
（1）若 在复平面内对应的点落在第一象限，求实数 a的取值范围；
（2）若虚数 z1是实系数一元二次方程 x26﹣x+m＝0的根，求实数 m的值．
18．（12 分）已知角 A是△ABC 的内角，若 ＝（ sinA，cosA）， ＝（1，﹣1）．
（1）若 ，求角 A的值；
（2）设 f（x）＝ ，当 f（x）取最大值时，求 在 上的投影向量（用坐标表示）．
19．（12 分）在①A＝ ，a＝ ，b＝ ；②a＝1，b＝ ，A＝ ；③a＝
，b＝ ，B＝ 这三个条件中选一个，补充在下面问题中，使该三角形解的个数为
2，并加以解答．
问题：在△ABC 中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，已知 ____，解三角形．
20．（12 分）在△ABC 中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且 acosB＝（2c﹣
b）cosA．
（1）求角 A；
（2）若向量 ＝（cosB，2cosA）， ＝（0，sin2），求| 2﹣|的取值范围．
21．（12 分）如图在四边形 ABCD 中，∠ABC＝ ，AB⊥AD，AB＝ ．
（1）若 AC＝ ，求△ABC 的面积；
（2）若∠ADC＝ ，CD＝4，求 AD 的长．
22．（12 分）已知
f（x）的最小正周期是 π．
（Ⅰ）求 ω的值；
（Ⅱ）若 f（α）＝ （ ≤a≤π），求 sin2α值；
（Ⅲ）当 时，讨论方程 的根的个数。
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