江苏省连云港市2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题参考解析答案

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第1页 共6页
高一数学参考答案
一、选择题
1．∵a∥b，a＝(2
，
3)
，
b＝(x
，
－6)
，
∴x＝－4，故选 B
2．z＝2
1－i＝1＋i，故选 C
3．∵ 3
sinπ
3
＝1
sinB∴sinB＝1
2，又∵B∈(0，π)且A＝π
3，∴B＝π
6故选 B
4．由课本 p19 例4知选 A
5．由题可知：cos(α＋β)＝2
2，α＋β∈(0，π)∴α＋β＝π
4故选 A
6．分别作出 y＝lnx与y＝2－x的图象，易知选 B
7．cosA＝2－2sinB＞0，知 A∈(0，π
2)，又∵cosA∈(0，1)∴sinB∈(1
2，1)故选 C
8．由
→
EF ＝
→
EA ＋
→
AB ＋
→
BF 又
→
EF ＝
→
ED＋
→
DC＋
→
CF，得
→
DC＝3
→
EF －2
→
AB 故选 C
二、多选题
9．由(a－2b)⊥a得x＝1故选 ACD
10．z＝2
2＋2
2i也满足 A，由 a，b∈C知D错，故选 BC
11．由 tan60°tan(－95)°tan35°＝tan60°＋tan(－95)°＋tan35°知 A对，B结果为－ 3，
故选 AC
12．由题中条件可算得 BC＝7，AC＝1，AB＝3，由投影向量的几何意义可得 D为正确，
故选 BD
三、填空题
13．b＋c
sinB＋sinC＝a
sinA＝4 3
14．由(cosα－sinα)2＝1
4，知 sin2α＝3
4
15．在 ΔAPB 中，BP＝2
cosα＝2 5，cosα＝5
5，sinα＝2 5
5
同理在 ΔDCP 中PC＝2
cos(3π
4－α)
＝2 10，
在 ΔBPC 中，BC2＝BP2＋PC2－2BP·PC·cos∠BPC 得
BC＝2 5
16．由 f(x)＝2cosx－4sin2x
2sin(π
2－x)－1－1
2|ln(x＋1)|
第2页 共6页
＝2cosx－2(1－cosx)sin(π
2－x)－1－1
2|ln(x＋1)|
＝2cosx－2(1－cosx)cosx－1－1
2|ln(x＋1)|
＝cos2x－1
2|ln(x＋1)|
易知零点个数为 6
四、解答题
17．解：(1)设
i( , )z a b a b  R
，所以
22
| | 2z a b  
，①
因为
2 2 2 2iz a b ab  
，又
2
z
的虚部为
2
，所以
22ab
，② ……………2分
由①②解得
或
1
1
a
b


，所以
1iz
或
1iz 
， ………………4分
又
z
所对应的点
A
在第三象限，所以
1iz 
． ………………5分
(2)
2 2 2
( i ) ( i 1 i) [1 ( 1)i]m z m m  
22 2( 1)im m m 
， ………8分
因为复数
2
( i )mz
在复平面上对应的点在第二象限，
所以
220
2( 1) 0
mm
m
 

，解得
0m
，
故实数
m
的取值范围为
(0, )
. ……………………………………………10 分
18． 解：(1)因为
( 3,1)ab
，所以
2| a b |
，
22
24   a a b b
， ………2分
将
| | 1a
，
| | 3b
，代入得
0ab
， ……………………………4分
所以
2 2 2
| | ( ) 2 2   a b a b a a b b
， ………………………6分
(2)因为
| | 1a
，
| | 3b
，所以
22
( ) ( ) 1 3 2  a b a b a b
，…8分
设
ab
与
ab
夹角为
，所以
( ) ( ) 1
cos | ||( | 2
 
 

a b a b
a b a b
， ………10 分
又因为
[0, ]

，所以
2
3
，即
ab
与
ab
夹角为
2
3
． ………12 分
第3页 共6页
19．解：(1)设
( , )D x y
，因为
( 1,0)A
，
(1,2)B
，
(4,1)C
，
则
(2,2)AB
，
(3, 1)BC 
，
(4 ,1 )DC x y 
，
( 1, )AD x y
， …2分
在直角梯形
ABCD
中，
//AB DC
，且
( 2, 2) (3, 1) 4 0BA BC  
,
所以
,AD
为直角，则
//AB DC
AB AD
，即
2(1 ) 2(4 ) 0
2( 1) 2 0
yx
xy
   
 
，
解得
1x
，
2y
，所以顶点 D的坐标为
(1, 2)
． ………………………6分
(2)因为
E
为线段
BC
上靠近点
C
的三等分点，则
3BC EC
，
设
( , )E a b
，则
(3, 1) 3(4 ,1 )ab 
，
所以
3a
，
4
3
b
，所以
4
3, 3
E


， …………………………………………8分
又因为
F
为线段
AB
的中点，则
(0,1)F
，
所以
10
2, 3
DE 


，
( 1,3)DF 
， ……………………………………10 分
则
10
3 2 3 2, 2( 1,3) (8,4)
3
DE DF 
 


，
所以
22
3 2 8 4 4 5DE DF  
…………………………………………12 分
20．解：(1)因为
( )( ) 3a b c b c a bc  
，
所以
2 2 2
23b c bc a bc 
，即
2 2 2
b c a bc 
．…………………………2分
在
ABC△
中，由余弦定理得
2 2 2 1
cos 2 2 2
b c a bc
Abc bc

 
，
又
(0, )A
，故
3
A
． ……………………………………………………4分
(2)因
3
tan 1
5
B
，故
4
B
，又因为
3
A
，所以
5
12
C
．
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