江苏省淮宿七校2022-2023学年高一下学期第三次联考数学试卷

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2022—2023 学年第二学期高一年级七校联考

数学试卷

一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分．在每小题给出的四个选项中，

只有一项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．）

1. 若复数 z满足 i·z＝3－4i，则|z|等于(　　)

A．1 B．7 C．5 D．25

2. 在△ABC 中，a，b，c分别是角 A，B，C的对边，若 asin B＝bcos A，且 b＝2，c＝2，

则a的值为(　　)

A．2 B．2 C．2－2 D．1

3. 若圆锥的母线长为 2，侧面展开图的面积为 6π，则该圆锥的体积是(　　)

A．3π B.π C．3π D．9π

4. 已知，，则的值为（）

A．B．C．D．

5. 三星堆古遗址作为“长江文明之源”被誉为人类最伟大的考古发现之一．

3号坑发现的神树纹玉琮，为今人研究古蜀社会中神树的意义提供了重要

依据．玉琮是古人用于祭祀的礼器，有学者认为其外方内圆的构造，契合

了古代“天圆地方”观念，是天地合一的体现．如图，假定某玉琮形状对

称，由一个空心圆柱及正方体构成，且圆柱的外侧面内切于正方体的侧面，

圆柱的高为 12cm，圆柱底面外圆周和正方体的各个顶点均在球 O上，则

球O的表面积为（）

A．72πcm2 B．162πcm2 C．216πcm2 D．288πcm2

6. P是所在平面上一点，满足，则的形状

是（）

A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形

7. 在中，若，则（）

A. B. C. D.

8. 在中，，为线段上的点，且 .若

，则（）

A. B. C. D.

二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分．在每小题给出的四个选项中，

有多项符合题目要求．全部选对得 5 分，少选得 2 分，错选或不选得 0 分．请把答案填涂

在答题卡相应位置上．）

9. 在复数集内，下列命题是真命题的是（）

A.若复数，则 B.若复数满足，则

C.若复数，满足，则 D.若复数满足，则

10. 设点 M是△ABC 所在平面内一点，则下列说法正确的是(　　)

A．若BM＝BC，则AM＝AC＋AB

B．若AM＝2AC－3AB，则点 M，B，C三点共线

C．若点 M是△ABC 的重心，则MA＋MB＋MC＝0

D．若AM＝xAB＋yAC且x＋y＝，则△MBC 的面积是△ABC 面积的

11. 在中，下列结论中，正确的是（）

A. 若，则是等腰三角形或直角三角形

B. 若，则

C. 若，则为钝角三角形

D. 若，，且结合的长解三角形，有两解，则长的取值范围是

12. 在长方体中，，，，动点在平面内且

满足，则（）

A．无论，取何值，三棱锥的体积为定值 30

B．当时，的最小值为

C．当时，直线与直线恒为异面直线

D．当时，平面

三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分．请把答案填写在答题卡相应位置

上．）

13. 已知向量，，则向量在向量的方向上的投影向量的坐标为_____

__ .

14. 化简：＝________.

15. “牟合方盖”是我四古代数学家刘徽在研究球的体积过程中构造的一个和谐优美的几何

模型，在正方体内作两个互相垂直的内切圆柱，其相交的部分就是牟合方盖．如图，已知

棱长为 2的正方体按上述方法截得的除去牟合方盖后剩余的体积是，则牟合方盖与截得

它的正方体的外接球的体积之比是__________．

（第 15 题图）

16. 已知的外心为，满足，则的最小值是

___________.

四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文

字说明、证明过程或演算步骤．）

17. (本小题满分 10 分)

已知是虚数单位，复数满足 .

（1）求复数的共轭复数；

（2）若，且，求实数的值.

18. (本小题满分 12 分)

设向量，满足，且 .

（1）求与的夹角；

（2）求的大小.

19. (本小题满分 12 分)

如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，E为棱的中点，平面

与棱交于点 F．

（1）求证：平面；

（2）求证：F为的中点；

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