辽宁省大连市滨城联盟2022-2023学年高三上学期期中（‖）考试数学答案

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高三数学答案 第 1 页 共 6 页
滨城高中联盟 2022-2023 学年度上学期高三期中(Ⅱ)考试
数学试卷参考答案
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
A
C
D
A
D
C
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求．全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分．
题号
9
11
12
答案
ABC
ABD
ACD
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．
13．
7
9；14．
3
；15．
4
5
；16．
6 4 2
四、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10 分)（1）因为
2
a
，
3
a
，
44a
成等差数列，所以
3 2 4 42 aa a  
，
又因为数列
 
n
a
的公比为 2，所以
2 3
1 1 1
2 2 2 42 a aa  
，
即
1 1 1
8 2 8 4a a a  
，解得
12a
，所以
1
2 2 2
n n
n
a
 
． 4 分
（2）由（1）知
2n
n
a
，则
22
1 log 1 log 2 1
2 2
n
n
nn n
n
an
ba
 
， 5 分
所以
2 3
2 3 4 1
2 2 2 2
nn
n
T
  L
， ①
2 3 1
1 2 3 1
2 2 2 2 2
nn n
n n
T
 
， ②
①－②得
2 3 1
1 1 1 1 1
1
2 2 2 2 2
nn n
n
T
 
 
 
 
L
2 1 2 1
1 1 1 1
1 1 1 1
11 1 1 2 1
2 2 2 2
1 1 1
1 1
2 2 2 2 2
1 1
2 2
nn
n n n n
n n n
 
 
 
 
     
 
1
3 3
2 2n
n
 
． 8 分
所以
3
32
nn
n
T
 
< 3．又因为
n
T
是递增数列，所以
n
T
≥
1
T
=1，所以 1 ≤
n
T
<3. 10 分
高三数学答案 第 2 页 共 6 页
18．（12 分）解：选择条件①.
(1)∵a＋acos C＝ 3csin A，∴由正弦定理，得 sin A＋sin Acos C＝ 3sin Csin A.
∵0<A<π
2，∴sin A>0，∴1＋cos C＝ 3sin C，∴ 3sin C－cos C＝1，
即3
2sin C－1
2cos C＝1
2，∴sin C－π
6＝1
2. ∵0<C<π
2，∴C－π
6＝π
6，∴C＝π
3. 6 分
(2) ∵S△ABC＝1
2absin C＝1
2ab· 3
2＝ 3，∴ab＝4. 7 分
∵△ABC 为锐角三角形，且 C＝π
3，∴A＝2π
3－B∈ 0，π
2，∴π
6<B<2π
3.
又 0<B<π
2，∴π
6<B<π
2， ∴tan B> 3
3. 9 分
由正弦定理 a
sin A＝b
sin B，得 a＝bsin A
sin B ，
∴a2＝absin
2π
3－B
sin B ＝4
3
2cos B＋1
2sin B
sin B ＝2 3
tan B＋2， 11 分
∴2<a2<8，∴ 2<a<2 2， 即 a 的取值范围为( 2，2 2)． 12 分
选择条件②.
(1)由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，得(a＋b)2－c2＝a2＋b2＋2ab－c2＝3ab，∴a2＋b2－c2＝ab.
则由余弦定理，得 cos C＝a2＋b2－c2
2ab ＝ab
2ab＝1
2. ∵0<C<π
2，∴C＝π
3. 6 分
(2) 解法同选择条件①的．
选择条件③.
(1)∵A＋B＋C＝π，∴B＋C＝π－A，
结合(a－b)sin(B＋C)＋bsin B＝csin C，得(a－b)sin A＋b·sin B＝csin C.
由正弦定理，得(a－b)a＋b2＝c2，即 a2＋b2－c2＝ab.
则由余弦定理，得 cos C＝a2＋b2－c2
2ab ＝ab
2ab＝1
2. ∵0<C<π
2，∴C＝π
3. 6 分
(2) 解法同选择条件①的．
高三数学答案 第 3 页 共 6 页
19．（12 分）（1）因为
160CBB  
，
12 4AA AB 
，
所以
2 2 2
1 1 1 1
2 cos 12B C BC BB BC BB CBB  
，则
12 3B C
，
所以
2 2 2
1 1 1 1
B C B C CC 
，即
1 1 1
B C B C
；
因为平面 ABC∥平面
1 1 1
A B C
，平面 ABC⊥平面
1 1
BCC B
所以平面
1 1 1
A B C
平面
1 1
BCC B
， 因为平面
1 1 1
A B C
平面
1 1 1 1
BCC B B C
，
所以
1
B C
平面
1 1 1
A B C
，
又
1 1
AC
平面
1 1 1
A B C
， 所以
1 1 1
B C A C
．6分
（2）如图，以
1
B
为原点，
1
B C
，
1 1
B C
所在直线分别为 x轴，y轴建立空间直角坐标系，
则
 
10,0,0B
，
 
2 3, 0, 0C
，
 
2 3, 2,0B
，
 
10,1, 3A
，
所以
 
1 1 0,1, 3B A
 
12 3, 2, 0B B  
，
设平面
1
ABA
的法向量为
 
1, ,n x y z
，
则
1 1 1
1 1
0
0
n B A
n B B
 
 
，即
3 0
2 3 2 0
y z
x y
 
 
，
取x＝1，则
 
11, 3, 1n 
，
平面 ABC 的法向量
 
21,0, 0n
，
所以
1 2
1 2
1 2
1 5
cos , 5
5
n n
n n
n n
 
 
 
 
，
由图可知，二面角为锐角，
所以二面角
1
C AB A 
的余弦值为
5
5
．12 分
20．（12 分）（1）由题意得
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