湖南省邵阳市2023届高三第三次联考（三模）数学试题

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2023 年邵阳市高三第三次联考
数学
一、选择题:本题共 8小题,每小题 5分,共40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的.
1. 已知集合
U=
{
x
|
−5≤ x <2
}
, A=
{
x
|
−3<x<0
}
,则
CUA=¿
A.
{
x
|
−3≤ x<0
}
B.
{
x
|
−3<x ≤ 0
}
C.
{x∨−5≤ x ≤− 3
或
0≤ x<2}
D.
\{ x|−5<x<−3
或
2. 设复数 z满足
z
(
1−i
)
=4
,则|z|=
A. 2
❑
√
2
B. 1 C.
❑
√
2
D. 2
3. 在△ABC 中,D 是BC 边上一点,P 是线段 AD 的中点,且.则
m+n=¿
A.
3
2
B. 1 C.
1
2
D. 2
4.“埃拉托塞尼筛法”是保证能够挑选全部素数的一种古老的方法.这种方法是依次写出
2和 2 以上的自然数，留下第一个数 2不动，剔除掉所有 2 的倍数；接着，在剩余的数中
2后面的一个数 3不动，剔除掉所有 3 的倍数；接下来，再在剩余的数中对 3后面的一个数
5作同样处理；……，依次进行同样的剔除.剔除到最后，剩下的便全是素数.在利用“埃拉
托塞尼筛法”挑选 2到20 的全部素数过程中剔除的所有数的和为
A.130 B.132 C.134 D.141
5，为加强居民对电信诈骗的认识，提升自我防范的意识和能力，拧
紧保障居民的生命财产的“安全阀”，某社区开展了“防电信诈骗进
社区，筑牢生命财产防线”专题讲座，为了解讲座效果，随机抽取
10 位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份防电信诈骗手
段知识问卷，这 10 位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率
如图（1）所示，则
A.讲座前问卷答题的正确率的中位数大于 75%
B.讲座后问卷答题的正确率的众数为 85%
C.讲座前问卷答题的正确率的方差小于讲座后正确率的方差
D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
6. 如图(2)所示,正八面体的棱长为 2,则此正八面体的表面积与体积之比为
A.
5❑
√
6
2
B.
❑
√
6
2
C.
❑
√
6
3
D.
3❑
√
6
2
7. 拿破仑·波拿巴最早提出了一个几何定理:“以任意三角形的三条边为边,向外构造三个等边
三角形,则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形(此等边三角形称为拿破
仑三角形)的顶点”.在△ABC 中,已知
∠ACB=30∘
,且
AC=❑
√
3
,
BC=3
,现以 BC,AC,AB 为
边向外作三个等边三角形,其外接圆圆心依次记为
A'
,
B'
,
C'
,则
Δ A'B'C'
的边长为
A. 3 B. 2 C.
❑
√
3
D.
❑
√
2
8. 定义在 R上的可导函数 f(x)满足
f
(
x
)
− f
(
− x
)
=x
(
ex+e− x
)
,且在(0,+∞)上有
f'
(
x
)
+x −1
ex<0
若实数 a满足
f
(
2a
)
− f
(
a+2
)
−2a e−2a+a e− a −2+2e− a − 2≥0
,则a的取值范围为
A.
−2
3≤ a ≤ 2
B.
a ≥ 2
C.
a ≤ − 2
3
或
a ≥ 2
D.
a ≤ 2
二、多选题:本题共 4小题,每小题 5分,共20 分.在每小题给出的四个选项中,有多项符
合题目要求. 全部选对的得 5分,部分选对的得 2分,有选错的得 0分.
9. 下列命题中,正确的有
A. 若
a>b
,则
a
c2>b
c2
B. 若
ab=4
,则
a2+b2≥8
C. 若
a>b
,则
ab<a2
D. 若
a>b , c>d
,则
a − d>b −c
10. 已知函数
f
(
x
)
=cos
(
2x − π
6
)
,则
A. f(x)的最小正周期为 2π B. f(x)在
(
−5π
12 ,0
)
上单调递增
C. f(x)的图象关于直线
x=7π
12
对称 D. 若
x∈
(
0,π
6
)
,则f(x)的最小值为-1
11. 已知双曲线 C
x2
4−y2
b2=1
(
b>0
)
的左、右焦点分别为
F1
,
F2
,双曲线具有如下光学
性质:从右焦点
F2
发出的光线 m交双曲线右支于点 P,经双曲线反射后,反射光线 n的反向延
长线过左焦点
F1
,如图(3)所示. 若双曲线 C的一条渐近线的方程为
❑
√
3x−y=0
,则下列结论
正确的有
A. 双曲线 C的方程为:
x2
4−y2
12 =1
B. 若
m⊥n
,则
C. 若射线n所在直线的斜率为 k,则
k∈
(
−❑
√
3,❑
√
3
)
D. 当n过点 M(8,5)时,光由
F2→ P → M
所经过的路程为 10
12. 如图(4)所示,已知点 A为圆台
O1O2
下底面圆周上一点 ,S 为上底面圆周上一点 ,且
S O1=1,O1O2=2❑
√
2, A O2=2
,则
A. 该圆台的体积为
14❑
√
2π
3
B. 直线 SA 与直线
O1O2
所成角最大值为
π
3
C. 该圆台有内切球,且半径为
❑
√
2
D. 直线
A O1S与平面O1O2
所成角正切值的最大值为
❑
√
2
2
三、填空题:本题 4小题,每小题 5分,共20 分.
13. 一个袋子中有大小和质地相同的 5个球,其中有 3个红色球,2 个白色球,从袋中不放
回地依次随机摸出2个球,则第 2次摸到红色球的概率为___.
14. 三 棱 锥P-ABC 中,PA⊥平面ABC,
PA=4AC=2AB=2❑
√
3AC AB
,则三棱锥
P − ABC
外接球的表面积为___.
15. 过抛物线
y2=4x
的焦点 F作倾斜角为
π
3
的直线 l,l与抛物线及其准线从上到下依次
交于 A,B,C 三点.令
|
AF
|
=λ1
|
BF
|
,
|
BC
|
=λ2
|
BF
|
,则
3
λ1
+2
λ2
的值为___.
16. 已知函数
f
(
x
)
=x2+m ex−1
有两个极值点
x1
,
x2
,且
x2≥2x1
,则实数 m的取值范围
是___.
四、解答题:本题共 6小题,共70 分.解答应写出文字说明、证明过程
或演算步骤.
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