湖南省邵阳市2022-2023学年高二下学期期末联考数学试题答案

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2023 年邵阳市高二联考参考答案与评分标准(数学)　 第1　　　　 页(共7页)
2023 年邵阳市高二联考参考答案与评分标准
数　学
一、选择题:本题共 8小题,每小题 5分,共40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合
题目要求的.
1.C　 2.C　 3.A　 4.A　 5.B　 6.A　 7.D
8.B
【详解】设g(x)=f(x)
3x,则g′(x)=f′(x)-f(x)ln3
3x>0.
∴g(x)在R上单调递增.
又f(-1)=1,f(x)为奇函数,
∴f(-1)= -f(1)=1.∴f(1)= -1,g(1)=f(1)
31= - 1
3.
f(x)<-3x-1⇔f(x)
3x<-1
3⇔g(x)<g(1)⇔x<1.
故选:B.
二、多选题:本题共 4小题,每小题 5分,共20 分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目
要求.全部选对的得 5分,部分选对的得 2分,有选错的得 0分.
9.AD　 10.BC　 11.ABD
12.ABC
【详解】对于 A选项:易知 CB⊥面ABB1A1,四边形 ABB1A1为长方形.
∴四棱锥 C-AA1B1B为“阳马”.
在棱锥 B1-A1BC 中,△A1BB1,△B1BC,△A1BC,△A1B1C为直角三角形.
图(1)
∴三棱锥 B1-A1BC 为鳖臑,故A正确.
图(2)
对于 B选项:将△B1A1C沿A1C旋转与△A1BC 共面且位于 A1C的异侧,
如图(1)所示.
∴BN+B1N=BN+B1′N≥BB1′=2 3 ,故B正确.
对于 C选项:过B,G,H的截面如图(2)所示,
易知 S为△A1B1R的重心,
∴BG =BH =5,GS =SH =17
3.
∴截面周长为 2 5 +2 17
3.故C正确.
对于 D选项:C1M⊂面C1AB,又面 C1AB∩面BCC1B1=BC1.
又C1M,AP 共面,点P的轨迹为线段 BC1,且BC1=2 2 ,
故D错误.故选 ABC.
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三、填空题:本题 4小题,每小题 5分,共20 分.
13.3　 14.-3
2　 15.48
125
16.5
2
【详解】设双曲线的左焦点为 F′,连MF′,NF′,
易知四边形 MFNF′为矩形.
设|MF′ |=m,|MF |=n,则
m-n=2a,①
m2+n2=4c2,②
1
2mn =a2
4,③
ì
î
í
ï
ï
ï
ï
ï
ï
　由①得:m2+n2-2mn =4a2.
∴ 4c2-a2=4a2,即4c2=5a2,∴ e =5
2.
四、解答题:本题共 6小题,共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.解:(1)由题知:a3
2=a1a13 , 1 分…………………………………………………………………
故(a4-d)2=(a4-3d)·(a4+9d).
即(7-d)2=(7-3d)(7+9d).
解得 d=0(舍去)或d=2.3分…………………………………………………………………
∴an=a4+(n-4)d
=2n-1.4分…………………………………………………………………………………
　Sn=n(a1+an)
2
=n2.5分……………………………………………………………………………………
(2)由(1)知bn=1
anan+1
=1
(2n-1)(2n+1) 6分…………………………………………………
=1
2
1
2n-1-1
2n+1
( )
.7分………………………………………………………
故b1+b2+b3+…+bn=1
21-1
3
( )
+1
3-1
5
( )
+1
5-1
7
( )
+…+1
2n-1-1
2n+1
( )
é
ë
ê
êù
û
ú
ú
=1
21-1
2n+1
( )
=1
2-1
4n+2.9分……………………………………………………………
又n∈N∗,∴ b1+b2+b3+…+bn<1
2.10 分………………………………………………………
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18.解:(1)方法一:
由cos
A
a+cos
B
b=sin
C
2 3 sin
B
,
得　 　 b
cos
A+a
cos
B
ab =sin
C
2 3 sin
B
.
由正弦定理得sin
B
cos
A+sin
A
cos
B
a
sin
B=sin
C
2 3 sin
B
, 3 分………………………………………
即sin(A+B)
a
sin
B=sin
C
2 3 sin
B
.又A+B=180°-C,
故sin
C
a
sin
B=sin
C
2 3 sin
B
.5分………………………………………………………………………
解得 a=2 3 .6分…………………………………………………………………………………
方法二:
由cos
A
a+cos
B
b=sin
C
2 3 sin
B
,及正、余弦定理可得
b2+c2-a2
2abc +a2+c2-b2
2abc =c
2 3 b
, 3 分…………………………………………………………………
整理得2c2
ac =c
3.5分………………………………………………………………………………
解得 a=2 3 .6分…………………………………………………………………………………
(2)由sin B+C
2=sin
A,得cos A
2=2sin A
2cos A
2.
又0< A
2<90°,故cos A
2≠0,sin A
2=1
2,
∴A
2=30°. ∴A=60°,C=75°. 8分………………………………………………………………
由正弦定理可得 b
sin
B=a
sin
A,∴ b=a
sin
B
sin
A=2 2 .10 分………………………………………
∴ △ABC 的面积 S=1
2absin
C=1
2×2 3 ×2 2 ×6+2
4=3+3.12 分………………………
19.证明:(1)∵ 平面 BB1C1C⊥平面 ABC,
平面 BB1C1C∩平面 ABC =BC, 2 分……………………………………………………………
又AB⊂平面 ABC,AB⊥BC,
∴AB⊥平面 BB1C1C,又BC1⊂平面 BB1C1C, 4 分……………………………………………
∴AB⊥BC1.5分…………………………………………………………………………………
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