湖南省怀化市2023届高三下学期仿真考试（二模）数学试卷答案

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1
高三二模数学答案
一、选择题：本题共 8小题,每小题 5分,共40 分.
1.C 2. B 3.C 4.A 5.B 6.D 7. C 8．B
二、选择题：本题共 4小题,每小题 5分,共20 分．
9．BC 10． CD 11． BCD 12．AB
三、填空题：本题共 4小题,每小题 5分,共20 分．
13． 14．1560 15．
. 16．
四、解答题：本题共 6小题,共70 分．
17．（本题满分 10 分）
【详解】（1）由
14
n n n
S S a
 
，可得
14
nn
a a d
 
，又
25a
，即
15ad
，
∴
11a
，故
 
1 1 4 4 3
n
a n n 
．…………………………………………………. 2 分
∵
 
n
b
是等比数列，由
29b
，
，
1q
，
∴
19bq
，
2
11 30b b q
，解得
3q
，
13b
，即
3n
n
b
．………………………. ……4分
（2）由（1）知：
20 77a
，令
77
n
b
，则
1,2,3n
，
所以
13b
，
29b
，
327b
在新数列
 
n
c
的前 20 项，………………………. …… 6分
因为
39a
与
29b
为公共项，所以前 20 项中有 18 项数列
 
n
a
中的项以及
1
b
，
3
b
.
20 1 2 3 18 1 3 18 17
18 1 4 3 27 660
2
T a a a a b b
 
.………………… 10 分
18．（本题满分 12 分）
【详解】（1）在三棱柱 中， ， 平面 ， 平面 ，
则 平面 ， ………………………. …… 2分
又平面 平面 ， 平面 ，于是得 ，
而平面 平面 ，平面 平面 ，平面 平面 ，
则 ，所以四边形 为平行四边形. ………………………. …… 4分
1 1 1
ABC ABC
11
//AA BB
1
BB
11
BBC C
1
AA
11
BBC C
1//AA
11
BBC C
1
AA EF
11
BBC C EF
1
AA
1
AA EF
1//AA EF
//ABC
1 1 1
A B C
1
AA EF
ABC AF
1
AA EF
1 1 1 1
ABC AE
1//A E AF
1
AA EF
2
（2）在平面 内过点 A作 ，因平面 平面 ，平面 平面
，
于是得 平面 ，又 ，以点 A为原点，建立如图所以的空间直角坐标
系， ………………………. …… 5分
因 ， ，则 ，
，
，………. …… 6分
设平面 的法向量 ，则 ，令 ，得
， ………………………. …… 8分
点B到平面 的距离 ，解得
， ………………………. …… 10 分
因此， ，而 ，设直线 与平面 所成角为 ，
于是得 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 . ………………………. …… 12 分
19．（本题满分 12 分）
【详解】（1）
 
sin sinb c B b A C 
，所以
 
sin sin cos cos sinb c B b A C A C 
，
11
AAC C
Az AC
ABC
11
AAC C
ABC
11
AAC C AC
Az
ABC
AB AC
12AA AB AC 
160A AC
11
(2,0,0), (0,2,0), (0,1, 3), (0,3, 3)B C A C
1
(2,0,0), (0,3, 3), (2, 2,0), (0,2,0)AB AC CB AC  
(0,2,0) (2, 2,0) (2 ,2 2 ,0)(0 1)AF AC CF AC tCB t t t t   
1
AFC
( , , )n x y z
13 3 0
2 (2 2 ) 0
n AC y z
n AF tx t y
 
 
yt
( 1, , 3 )n t t t 
1
AFC
22
2 2 2
| | 2(1 ) 2(1 ) 2
|| ( 1) 4
( 1) ( 3 )
n AB t t
dntt
t t t
 
 

 
1
3
t
2 1 3
( , , )
3 3 3
n 
11 (0,2,0)AC
11
AC
1
AFC
11
11
11 2 2 2
2
|| 2
3
sin | cos , | 4
| || | 2 1 3
( ) ( ) ( ) 2
3 3 3
n AC
n AC n AC
 
 
11
AC
1
AFC
2
4
3
所以
2 2 2 2 2 2
2 2 2
cos cos 22
a b c b c a
b bc ab C bc A a c
 
  
， ………………… 2 分
又
2 2 2 2 cosa b c bc A  
，所以
1
cos 2
A
，
因为
 
0,A
，所以
3
A
． ………………………. …… 4分
（2）由（1）可知
13
csin
24
S b A bc
，
2 2 2
a b c bc  
．
则
2 2 2 2 2 2 2 2
4 3 4 3 2 2 8 3 4 3
3 3 3 3
a b c a b c b c bc b c
S bc bc c b
    
   


．. ………7分
因为
ABC
锐角三角形，所以
02
2
032
C
C


 
，整理得
62
C


． . …………8分
因为
 
sin
sin sin cos cos sin 3 1
sin sin sin 2tan 2
AC
b B A C A C
c C C C C
 
，所以
12
2
b
c

．. …10 分
令
bt
c
，则函数
1
ytt

在
1
2,1



上单调递减，在
 
1,2
上单调递增，所以
5
2, 2
y

，即
5
2, 2
bc
cb



，
故
2 2 2
abc
S

的取值范围为
4 3 16 3
,3


. ………………………. …… 12 分
20．（本题满分 12 分）
【详解】(1)记“一局游戏后甲被扣除
2
个积分”为事件
A
，“一局游戏后乙被扣除
n
个积分”为
事件
B
，
由题可知
，则
   
2
15
P B P A 
，
… …………………… 2分
当三局均为甲被扣除
2
个积分时，
6

，
当两局为甲被扣除
2
个积分，一局为乙被扣除
n
个积分时，
4n

，
当一局为甲被扣除
2
个积分，两局为乙被扣除
n
个积分时，
22n

，
当三局均为乙被扣除
n
个积分时，
3n
， ………………………. …… 3分
所以，
 
3
3 27
65 125
P

 


，
 
2
2
33 2 54
4C5 5 125
Pn

 


，
 
2
1
33 2 36
2 2 C 5 5 125
Pn

 


，
 
3
28
35 125
Pn

 


，
所以，随机变量
的分布列为
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