湖南省衡阳市第八中学2024届高三上学期开学检测（8月）数学答案和解析

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衡阳市八中 2024 届高三暑期检测

参考答案：

一、单选题

1 2 3 4 5 6 7 8

D A C B A C D D

1．D 2．A 3．C

4．B【详解】由，有，得，

可得，所以 .故A，C，D错误.故选：B.

5．A【详解】双曲线的渐近线方程为，

圆的标准方程为，圆心坐标为，半径为，

所以，圆心到直线的距离为，解得，

因此，双曲线的离心率的值为 .故选：A.

6．C【详解】A项，由于，明显有，故正确；

B项，因为每个边对应的中心角为，则，

所以，

又，且，所以，B正确；

C项，和方向相反，但长度不等，因此不是一对相反向量，C错误；

D项，因为，所以，D正确.故选：C.

7．D【详解】对于①：若，则，，关于对称，

若为无理数，则也是无理数，，也关于对称，

若，并且是既约的真分数，则，并且是互质的，，

也是真分数，若不是既约分数，则与必定存在公约数，

不妨假设，则有，即存在大于 1的公约数，

与题设矛盾，故也是既约分数，，即关于对称，

故①正确；

对于②，时，，故②错误；

对于③，当时，有，，但当时，故③错误；

对于④，，，

构造函数，，则，单调递增，

，即当时，

，，

当时，，，，故④正确；

对于⑤，

，故⑤正确；

故选：D.

8．D【详解】不等式可整理为，

令，定义域为，则原不等式可看成，

，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，上

单调递增，

令，则，令，则，令，则，

所以在上单调递增，上单调递减，且，所以，即，即

，

当时，，，所以，解得；

当时，，，所以，不成立；

综上可得，不等式的解集为 .故选：D.

二、多选题

9 10 11 12

ABC ACD BC AB

9．ABC【详解】对选项 A，从 2010-2019 年，我国研究生在校女生人数逐渐增加，故 A正确；

对选项 B，由于 2010-2019 年，我国研究生在校女生人数逐年增加，且 2019 年人数为 144.8 万，故 B正确；

对选项 C，2017 年我国研究生在校女生人数所占比重为 48.4%，不足一半，故 C正确；

对选项 D，，故 2019 年我国研究生在校总人数超过 285 万，故 D项错误.

故选：ABC

10．ACD【详解】由函数的图象可知，，，则，，

由，解得，因为，所以，，

所以 A正确.

令，解得，故 B错误.

令,解得，所以 C正确.

对于 D，，则，值域为，

所以，解得，即实数的取值范围为，故 D正确.

11．BC

【详解】对于 A，连接，

由题意可知，因为，所以，所以共面，

故选项 A错误；

对于 B，连接，

由题意可知，

所以，故选项 B正确；

对于 C，连接，

由正方体的性质可知平面，所以即为直线与平面所成的角，

则，故选项 C正确；

对于 D，连接，根据正方体的性质可得，且，

所以平面即为过点 B，E，F的平面截正方体的截面，该四边形为梯形，其上底

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