湖南省衡阳市第八中学2024届高三上学期开学检测（8月）数学
衡阳市八中 2024 届高三暑期检测
数 学 试 题
命题人：刘瑶 审题人：廖洪波
注意事项：本试卷满分 150 分，时量为 120 分钟
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共 8小题，每题 5分，共 40 分）
1．若
2
(1 i) 2 2iz− = +
，则
z=
（ ）
A．
1i+
B．
1i−
C．
1i−+
D．
1i−−
2．已知
Ra
，则“
1a
”是“
21a
”的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知函数
( ) ( )
2
log 2 , 0
2 , 0
x
xx
fx kx
−
=−
，若
( )
( )
23ff−=
，则
k=
（ ）
A．
1−
B．
0
C．
1
D．
2
4．已知
( )
sin 68 m−=
，则
cos11 =
（ ）
A．
1
2
m+
B．
1
2
m−
C．
1
2
m+
D．
1
2
m−
5．若双曲线
( )
22
22
: 1 0, 0
xy
C a b
ab
− =
的一条渐近线被圆
22
4 2 0x y y+ − + =
所截得的弦长为
2
，则双曲线
C
的离心
率为 （ ）
A．
2
B．
3
C．
2
D．
23
3
6．八卦是中国古老文化的深奥概念，下图示意太极八卦图.现将一副八卦简化为正八边形
ABCDEFGH
，设其边长
为
a
，中心为
O
，则下列选项中不正确的是 （ ）
A．
AB AC AB AD =
B．
0OA OB OC OF + =
C．
EG
和
HD
是一对相反向量
D．
AB BC CD EF FG a− + + − =
7．黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛应用，其定义
为:
0,1x
时，
1, ( , N , )
()
0, 0,1 (0,1)
pp
x p q
q q q
Rx
x
+
=
=
=
为既约真分数
和 内的无理数
.若数列
1,N
n
n
a R n
n+
−
=
，则下列结论:①
( )
Rx
的
函数图像关于直线
1
2
x=
对称；②
1
n
an
=
；③
1nn
aa
+
；④
1
1
ln 2
n
i
i
n
a
=
+
；⑤
1
1
1
2
n
ii
i
aa+
=
.其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②④⑤ C．①③④ D．①④⑤
8．已知函数
( )
2
4e
1 ln2
x
fx x
=+
，则不等式
( )
2
ex
fx
的解集是 （ ）
A．
( )
0,1
B．
11
,
2e 4
C．
1,1
e
D．
11
,
2e 2
二、多选题（本大题共 4小题，每题 5分，共 20 分）
9．根据国家统计局数据显示，我国 2010~2019 年研究生在校女生人数及所占比重如图所示，则下列说法正确的是
（ ）
A．2010~2019 年，我国研究生在校女生人数逐渐增加
B．可以预测 2020 年，我国研究生在校女生人数将不低于 144 万
C．2017 年我国研究生在校女生人数少于男生人数
D．2019 年我国研究生在校总人数不超过 285 万
10．函数
( ) ( )
sinf x A x=+
（其中
0A
，
0
，
）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
2
3
=−
B．函数
( )
fx
的零点为
( )
6k k Z
− +
C．函数
( )
fx
图象的对称轴为直线
( )
7
2 12
k
x k Z
= +
D．若
( )
fx
在区间
2,
3a
上的值域为
,3A
−
，则实数
a
的取值范围为
13 3
,
12 2
11．如图，棱长为 2的正方体
1 1 1 1
ABCD A B C D−
中，点 E，F，G分别是棱
1
,,AD DD CD
的中点，则（ ）
A．直线
11
,AG C E
为异面直线
B．
1
1
3
D BEF
V−=
C．直线
1
AG
与平面
11
ADD A
所成角的正切值为
2
4
D．过点 B，E，F的平面截正方体的截面面积为 9
12．已知 O为坐标原点，
12
,FF
分别为双曲线
( )
22
22
1 0 0
xy ab
ab
− = ，
的左、右焦点，点 P在双曲线右支上，则下列
结论正确的有 （ ）
A．若
2
PO PF=
，则双曲线的离心率
2e
B．若
2
POF
是面积为
3
的正三角形，则
223b=
C．若
2
A
为双曲线的右顶点，
2
PF x⊥
轴，则
2 2 2
=F A F P
D．若射线
2
FP
与双曲线的一条渐近线交于点 Q，则
12
2−QF QF a
第II 卷（非选择题）
三、填空题（本大题共 4小题，每题 5分，共 20 分）
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