辽宁省协作校2022-2023学年高三下学期第一次模拟考试数学 PDF版答案

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参考答案

一 1.C 2.C 3.B 4.B 5.C 6.D 7.A 8.A

二．9.AB 10.AD. 11.ABD 12.ABD

三． 13.



14.0.76 15.[

,12] 16.

1 1

( , )

3 3



四、解答

17. 【解答】（ 1 ）因为

222

cos cos cos 1 sin sinA B C B C    

所以

222

sin sin sin sin sinA B C B C   

，

由正弦定理可得

2 2 2

a b c bc   

，所以

2 2 2 1

cos 2 2

b c a

Abc

 

 

，因为

(0, )A





，

则





．



5 分

（2）由题意

1( )

AM AB AC 

  

，

则

22 2 2 2 2 2

1 1 1 1 27

( ) ( ) [( ) ] [( ) ( ) ]

4 4 4 4 2 4

b c

AM AB AC b c bc b c bc b c 

          

  



，

则

3 3

| | 2





，即

ABC

的中线

的最小值为

3 3

．当且仅当

3b c 

取最小值



10 分

18.（12 分）解：(1)因为

DAB



 

，且

1AP AB 

,故

1BP 

,在

PDC

中，

1, 3

PD DC PDC



   

, 所以

3PC 

，在

BPC

中,

1, 3, 2BP PC BC  

所以

BP PC

，又因为

, , ,BE PC BP BE E BE BP  I

平面

BPE

，所以

PC 

平面

BPE



4 分

(2) 选①

取

中点为

,因为

BE PE

,故

EO BP

,由（1）得

,EO PC BP PC P I

,所以

EO 

平面

ABCD

，所以

EAO

为

与平面

ABCD

所成的角，即

EAO



 

ABP

为

等边三角形，边长为 1，所以

EO AO 

EBP

为等边三角形



6 分

（解法 1）取

中点

，过

作

MN EC

于

,连接

,NB BM

因

EBP

等边,所以

BM EP

，由（1）知

BM PC

EP PC PI

，所以

BM 

平面

EPC

由

,MN EC

故

BN EC

BNM

是二面角

P EC B 

的平面角,



8 分

在直角

EPC

中,

1, 3EP PC 

,点

是

的中点，所以

MN 

,在直角

BMN

中

tan 2

BNM  



10 分

所以余弦值为



12 分

解法 2：以

为原点，

, ,OA OP OE

uur uuur uuur

为在

, ,x y z

轴正方向建立空间直角

坐标系得

1 1 1 3

(0, , 0), (0, ,0), ( 3, ,0), (0,0, )

2 2 2 2

P B C E 

1 3

(0, , ), ( 3, 0, 0), ( 3,1, 0)

2 2

EP PC BC     

uur uuur uuur

设

1 1 1 1

( , , )n x y z

是平面

EPC

的法向量,则

n EP

n PC

 



 





ur uur

ur uuur

1 1

1 3 0

2 2

3 0

y z

 





 



，

取

1(0, 3,1)n



8 分

设

2 2 2 2

( , , )n x y z

uur

为平面

EBC

的法向量,

n BE

n BC

 



 





uur uur

uur uuur

2 2

1 3 0

2 2

3 0

y z

x y

 





  



，

取

2(, 3, 1)n 

uur



9 分

设

1 2

n n，

ur uur

所成的角为



，则

1 2

cos 5

| || |

n n





 

ur uur

，



11 分

二面角的余弦值为



12 分

选②取

中点为

，由（1）得

EO 

平面

ABCD

，设

到平面

EPC

的距离为

h h 

，

由已知得

ABC

等边三角形，

1BP 

，设

EO x

，

则

EP x 

因为

E PDC D EPC

V V

 



，即

1 1

3 3

PDC EPC

S EO S h

 

    

，

即

1 1 1 1

sin120

3 2 3 2

PD DC EO EP PC h         

，可求得

x

可求得

EO 



6 分

以解法下同①的解法

19.解：（1）当时，

，

当时， 





  



经检验， 时，

也符合上式，

所以数列 的通项公式为

 ……………3 分

（2）易知，两边取倒数得： 

 

，整理得： 

  

 ，

∴

 是以首项为 

，公比为 2 的等比数列，

∴

，∴

 …………6 分

（3）由（1）（2）问可知欲比较 

与

的大小，

即比较 与的大小

当时， ，，有 3>2；

当时,  ，，有 7>6；

当时,  ，，有 15>12；

猜想 ，下面证明 …………8 分

方法一.当

4n

时

1 +1 0 1 2 1 1 0 1 2

+1 +1 +1 1 1 +1 1 1 1

2 1 (1 1) 1 1 2 2 2 1

=2 2( 1) ( 1) 1

n n n n n

n n n n n n n n n

C C C C C C C C C

n n n n n

  

    

                

      

所以对于任意的都成立，进而<. ……………12 分

方法二.令

1 2

( ) 2 1

f x x x



   

，则

1 1 2 1 2 1

( ) 2 ln 2 2 1, ( ) 2 (ln 2) 2 2 (ln ) 2 2 2

x x x x

f x x f x e

   

 

        

当





4,x 

时，

( ) 2 2 0

f x 

   

，

( )f x



在





4,x 

单调增，

1 5 1

( ) (4) 2 ln 2 2 1 2 2 4 1 7 0, ( )

f x f x f x



 

          

在





4,x 

单调增，

4 1 2

( ) 2 1 4 4 11 0f x f 

      （4）

，所以

1 2

2 1 0

xx x

   

，即

1 2

2 1

xx x

  

所以对于任意的都成立，进而<. ……………12 分

方法三

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