山东省烟台市2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题答案20210624

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第 1 页（共 5 页）
2020-2021 学年度第二学期期末学业水平诊断
高二数学参考答案
一、单选题
D B A A C B B D
二、多选题
9.AC 10.BCD 11.ACD 12.BD
三、填空题
13.
(0, 2]
14.
[2, 3]
15.
1
16.
3
四、解答题
17.解 ：（ 1）当
0x<
时，
0x−>
，
()()sin() sinfx x x x x−=−− −=−+
， ·········· 2 分
又
为偶函数，所以
( ) ( ) sinfx f x x x= − =−+
. ···································· 4分
（2）当
0x≥
时，
( ) ( sin ) 1 cos 0fx x x x
′′
=− =−≥
，
所以
()fx
在
[0, )+∞
单调递增. ···························································· 6分
又
()fx
为偶函数，所以
(2)(1) (2)(1)f m fm f m f m
> −⇔ > −
.
所以
21
mm
>−
, ·············································································· 8分
两边平方，整理得
(3 1)( 1) 0mm− +>
，
解得
1m<−
或
1
3
m>
. ······································································· 10 分
18.解 ：（ 1）
2
() 4
fx x
′= −
. ·······································································
2分
令
() 0fx
′=
，解得
2x= −
或
2x=
. ·······················································
3分
x
( , 2)−∞ −
2−
( 2, 2)−
2
(2, )+∞
()fx
′
+
0
−
0
+
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
·························································
5分
因此，当
2x= −
时，
有极大值，且极大值为
19
( 2) 3
f−=
. ··················
6分
当
2x=
时，
()fx
有极小值，且极小值为
13
(2) 3
f= −
. ·····························
7分
第 2 页（共 5 页）
x
y
f
(2)
f
(-2)
O
（2）方程
()fx a=
的实数解的个数，即为函数
()y fx=
的图象与直线
ya
=
的交点的个数. ················································
9分
当
x→ −∞
时，
()fx→ −∞
，当
x→ +∞
时，
()fx→ +∞
，
结合（1）知
()
fx
的大致图象如右图所示.
所以，当
19
3
a>
或
13
3
a<−
时，解为
1
个； ·············································· 10 分
当
19
3
a=
或
13
3
a= −
时，解为
2
个； ······················································ 11 分
当
13 19
33
a− <<
时，解为
3
个. ······························································ 12 分
19.解 ：（ 1）要使
的定义域为
R
，只需
4 2 10
xx
k+ ⋅ +>
在
R
上恒成立. ······· 2分
令
20
x
t= >
，只需
210y t kt= + +>
在
0
t>
上恒成立.
当
0
2
k
−≤
，即
0k≥
时，
()yt
在
(0, )+∞
单增，恒有
( ) (0) 1 0yt y>=>
，
因此，对任意
0k≥
均成立. ···································································· 3分
当
0
2
k
−>
，即
0k<
时，
()yt
在
(0, )
2
k
−
单减，
(,)
2
k
− +∞
单增，只需
( )0
2
k
f−>
，
即
22
10
42
kk
− +>
，解得
22k−< <
，所以
20k−< <
. ······························· 5分
综上，
k
的取值范围为
( 2, )− +∞
. ···························································· 6分
（2）若不等式
() ()f x gx<
有解，即
ln(4 2 1) ln 2 ln 2
xx x
kx
+⋅ + < =
，
可得
04 2 12
xx x
k< + ⋅ +<
有解. ····························································· 7 分
因为当
x→ +∞
时，
4 21
xx
k+ ⋅ + → +∞
，所以，对任意实数
k
，总存在
00
x>
，使得
00
4 2 10
xx
k+ ⋅ +>
，即
4 2 10
xx
k+ ⋅ +>
有解. ··········································· 8分
由
4 2 12
xx x
k+ ⋅ +<
可得，
1
1 (2 )
2
x
x
k− <− +
. ·········································· 9分
令
20
x
t= >
，
1
yt
t
=−−
，
22
1 (1 )(1 )
1tt
ytt
−+
′=−+ =
， ·························· 10 分
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