山东省学情2022-2023学年高二下学期3月联考数学答案

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山东学情高二 3月联合考试
数学试题参考答案
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
B
C
A
D
A
D
C
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求．全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
题号
9
10
11
12
答案
AC
AD
ACD
BCD
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。
13．29；14．36；15．
；16．0．
四、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．【 解析】（ 1）∵
32
( ) 6 9 2f x x x x= − + −
，
∴
( ) ( )( )
2
3 12 9 3 3 1f x x x x x
= − + = − −
， ··········································· 2分
x
( ,1)−
1
(1,3)
3
(3, )+
'( )fx
+
0
-
0
+
()fx
单增
极大值 2
单减
极小值
2−
单增
······································································································ 4分
故
()fx
的极大值是
( )
1 =2f
，极小值是
( )
32f=−
； ································· 6分
（2）由（1）知：
x
2−
( 2,1)−
1
(1,2)
2
'( )fx
+
0
-
()fx
52−
单增
极大值 2
单减
0
······································································································ 8分
即函数
()fx
在区间
[2−
,
2]
上的最大值为 2，最小值为
52−
. ··························· 10 分
18.【解析】（1）因为
( )
11
xx
x a x a
fx ee
− + − + +
==
， ······························ 2分
所以
( )
2
1
20
a
fe
−
==
，得
1a=
， ······················································· 4分
此时
( )
2
ex
x
fx −+
=
，
所以在
( )
,2−
上
()
0fx
¢>
，
( )
fx
单调递增，在
( )
2,+
上
()
0fx
¢<
，
( )
fx
单调递减，
所以
( )
fx
在
2x=
处取得极大值，符合题意，
故实数
a
的值为 1. ·············································································· 6分
（2）由（1）知，
( )
1
x
xa
fx e
− + +
=
，
因为
( )
fx
在
( )
1,1−
上单调递增，所以
()
0fx
¢³
在
( )
1,1−
上恒成立. ················ 8分
因为
e0
x
，所以
10xa− + + 
在
( )
1,1−
上恒成立，即
1ax−
在
( )
1,1−
上恒成立.
······································································································ 9分
因为
( )
1g x x=−
在
( )
1,1−
上单调递增，所以
( ) ( )
10g x g=
， ················· 11 分
故实数
a
的取值范围为
)
0,+
. ····························································· 12 分
19．【 解析】（ 1）∵
( )
12n
x+
的展开式的所有项的二项式系数和为
2 64
n=
，∴
6n=
.
······································································································ 2分
展开式中第三项为：
2 6 2 2 2
36
1 (2 ) 60T C x x
−
=  =
，
所以
260a=
····················································································· 4分
（2）∵
6
6
2
12
60
(1 2 ) (1 2 )
n
x x a a x a x a x+ = + = + + ++
∴第四项的二项式系数最大， ······························································ 6分
3 6 3 3 3
46
1 (2 ) 160T C x x
−
=  =
································································ 8分
（3）
( ) ( )
0
66
6
2
12
12f x x a a x a x a x= + = + + ++
，
∴
( )
2
55
61 3 2
1 2 2 3 6'( ) 12 x a af x a ax xx+ = + + += +
， ························· 10 分
令
=1x
，可得
5
1 62 3
2 3 6 12 3 2916a a a a+ + + = =+
···························· 12 分
20．【 解析】（ 1）解：当
1a=
时，
( )
sinf x x x=−
，
所以
6
1
sin
6 6 6 2
f
 

= − = −


， ······················································· 1分
( )
cos 1f x x
=−
，
所以
3
cos 1 1
6 6 2
f


= − = −


， ······················································ 3分
故所求切线方程为
3 2 3 1
2 12 2
yx
−
= − +
． ········································· 4分
（2）解法1：因为
( )
f x a
( )
sin
sin 1 1
x
x a x a x
+   +
在
3
2
,
6
x




上恒成立，
······································································································ 6分
令
( )
sin
1
x
gx x
=+
，
3
2
,
6
x




，则
( ) ( )
2
cos cos sin
1
x x x x
gx x
+−
=+
， ················ 7分
令
( )
cos cos sinh x x x x x= + −
，则
( )
sin sin 0h x x x x
= − −
，
所以
( )
hx
在
3
2
,
6
x




上单调递减，
因为
3 3 1 0
6 6 2 2 2
h


= + − 


，
20
23
13
23
h


= − − −


，
由零点存在定理知，存在唯一
3
2
,
6
x




，使
( )
00hx =
，
所以
( )
gx
在
0
,
6x


上单调递增，在
03
2
,x


上单调递减， ······················ 9分
所以
( )
min
2 3 3 3 3 3
min , min ,
6 6 6 4 6 43
g x g g

 



 
= = =
 
  + + +
  


， ··· 11 分
从而
33
64
a
+
． ············································································· 12 分
解法 2：因为
( )
f x a
( )
sin 1 0x a x − + 
在
3
2
,
6
x




上恒成立，
令
( )
( ) sin 1g x x a x= − +
，则
min
( ) 0gx
·············································· 6分
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