湖北省荆州中学2023-2024学年高三上学期10月半月考数学答案

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．

荆州中学 2024 届高三数学十月半月考参考答案

1-4．C D A D 5-8．B C A B 9．BC 10．ACD 11．ABC 12．AD

13．2.5 14．

15．

( 1,0)

16．

(0, 2)

17．（1）1 （2）

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【详解】（1）

( ) sin sin 3 sin cos

4 4

f x x x x x

 

   

   

   

   



sin sin 3 sin cos

4 2 4

x x x x

  

 

   

    

   

 

   

 

sin cos 3 sin cos

4 4

x x x x

 

   

   

   

   

1 3

cos 2 sin 2

2 2

x x 

sin 2 6



 

 

 

 

，

sin 2 1

6 6 6

  

   

    

   

   

5 分

（2）由题意可知，

sin 1

2 6

f A



   

  

   

   

，

而



 

可得：

6 2

 

 

，即





，

2 3 3

sin sin sin sin sin cos 3 sin

3 2 2 6

B C B B B B B

 

   

        

   

   

，

2 5 1

0 , , sin 1

3 6 6 6 2 6

B B B

    

 

        

 

 



，

sin sinB C 

的最大值为

10 分

18．（1）证明见解析（2）

【详解】（1）取

1 1

A C

的中点

，连接

1,B O OD

，则

1 1 1 1

,OB A C OD AA∥

，

又因为

AA 

平面

ABC

，所以

OD 

平面

ABC

，则

1 1

, ,OA OD OB

两两垂直， 2 分

如图，以

为原点，

1 1

, ,OA OD OB

所在直线分别为

轴，

轴，建立空间直角坐标系，

则

(1, 2,0), (0, 2, 3), (0, 2, 0), (1, 0,0), ( 1,1, 0)A B D A E 

，可得

1 1

( 1, 2,0), ( 1, 2, 3), (1,0, 3), ( 1, 1, 3)A D A B BA BE         

   

，设

   

1 1 1 1 2 2 2 2

, , , , ,n x y z n x y z 

 

分别为平面

A BD

和平面

BAE

的法向量，

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由

1 1 1 1

1 1 1 1 1

2 0

2 3 0

A D n x y

A B n x y z

    



     





 

 

，令

11y

，则

1 1

2, 0x z 

，

可得

1(2,1, 0)n



是平面

A BD

的一个法向量， 4 分

由

2 2 2

2 2 2 2

3 0

BA n x z

BE n x y z

   



     





 

，令

21z

，则

2 2

3, 2 3x y  

，

可得

2( 3, 2 3,1)n 



是平面

BAE

的一个法向量， 6 分

因为

2 1 2 3 2 3 0 0n n     

 

，即

1 2

n n

 

，所以平面

BAE 

平面

A BD

． 7 分

（2）由（1）可得：

1 1

(0, 2, 0), (2,1, 0)A A n 

 

是平面

A BD

的一个法向量，

设

和平面

A BD

所成角为



，

则

1 1

2 5

sin cos , 5

5 2

| |

n A A





   



 



   

∣

，

所以

和平面

A BD

所成角的正弦值为

． 12 分

19．（1）

* *

( 1)

( 1), N , , N

n n n

n n

a a n n a n



     

（2）

3 (2 1) 3



  



【详解】（1）由题意可知，

1 2 1

1, 3 1 2 2a a a     

，

3 2 1

6 1 2 3 3, ., n n

a a a a n



        

，

所以数列

 

的一个递推关系为

1( 1), N

n n

a a n n

   

， 2 分

所以当

2n

时，利用累加法可得

     

1 2 1 3 2 1

( 1)

1 2 3 2

n n n

n n

a a a a a a a a n





              

，

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